График функции y = cot((x-pi)/4)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /x - pi\
f(x) = cot|------|
          \  4   /
f(x)=cot(14(xπ))f{\left (x \right )} = \cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200200
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cot(14(xπ))=0\cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=πx_{1} = - \pi
Численное решение
x1=65.9734457254x_{1} = -65.9734457254
x2=59.6902604182x_{2} = 59.6902604182
x3=3.14159265359x_{3} = -3.14159265359
x4=72.2566310326x_{4} = 72.2566310326
x5=34.5575191895x_{5} = 34.5575191895
x6=9.42477796077x_{6} = 9.42477796077
x7=53.407075111x_{7} = -53.407075111
x8=21.9911485751x_{8} = 21.9911485751
x9=103.672557568x_{9} = -103.672557568
x10=84.8230016469x_{10} = 84.8230016469
x11=78.5398163397x_{11} = -78.5398163397
x12=47.1238898038x_{12} = 47.1238898038
x13=91.1061869541x_{13} = -91.1061869541
x14=40.8407044967x_{14} = -40.8407044967
x15=97.3893722613x_{15} = 97.3893722613
x16=15.7079632679x_{16} = -15.7079632679
x17=28.2743338823x_{17} = -28.2743338823
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot((x - pi)/4).
cot(1π4)\cot{\left (\frac{-1 \pi}{4} \right )}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
14cot2(14(xπ))14=0- \frac{1}{4} \cot^{2}{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} - \frac{1}{4} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
18(tan2(14(x+π))+1)tan(14(x+π))=0- \frac{1}{8} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{4} \left(x + \pi\right) \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{1}{4} \left(x + \pi\right) \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = - \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -pi]

Выпуклая на промежутках
[-pi, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=limxcot(14(xπ))y = \lim_{x \to -\infty} \cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=limxcot(14(xπ))y = \lim_{x \to \infty} \cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot((x - pi)/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1xcot(14(xπ)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1xcot(14(xπ)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cot(14(xπ))=cot(x4+π4)\cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = - \cot{\left (\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )}
- Нет
cot(14(xπ))=1cot(x4+π4)\cot{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = - -1 \cot{\left (\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной