График функции y = cbrt(x/(x+1))

Вы ввели

           _______
          /   x   
f(x) = 3 /  ----- 
       \/   x + 1 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x/(x + 1))^(1/3).

    ___
   / 0 
3 /  - 
\/   1 

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{3 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{3 x + 3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}}}{9 x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}}}{9 x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) + \frac{3}{x}\right)\right) = \infty \operatorname{sign}{\left (0.222222222222222 \sqrt[3]{-1} + 0.384900179459751 \left(-1\right)^{\frac{5}{6}} \right )}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}}}{9 x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) + \frac{3}{x}\right)\right) = \infty + \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1/3]

Выпуклая на промежутках

[-1/3, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x/(x + 1))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}} = \sqrt[3]{- \frac{x}{- x + 1}}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{\frac{x}{x + 1}} = - \sqrt[3]{- \frac{x}{- x + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной