График функции y = sqrt(2-y^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          ________
         /      2 
f(y) = \/  2 - y  
f(y)=y2+2f{\left (y \right )} = \sqrt{- y^{2} + 2}
График функции
-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.2502
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
y2+2=0\sqrt{- y^{2} + 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
y1=2y_{1} = - \sqrt{2}
y2=2y_{2} = \sqrt{2}
Численное решение
y1=1.4142135623731y_{1} = -1.4142135623731
y2=1.4142135623731y_{2} = 1.4142135623731
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в sqrt(2 - y^2).
0+2\sqrt{- 0 + 2}
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = \sqrt{2}
Точка:
(0, sqrt(2))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} =
Первая производная
yy2+2=0- \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
y1=0y_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
      ___ 
(0, \/ 2 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
y1=0y_{1} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0]

Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} =
Вторая производная
y2y2+2+1y2+2=0- \frac{\frac{y^{2}}{- y^{2} + 2} + 1}{\sqrt{- y^{2} + 2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
limyy2+2=i\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 2} = \infty i
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=iy = \infty i
limyy2+2=i\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 2} = \infty i
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=iy = \infty i
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(2 - y^2), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
limy(1yy2+2)=i\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \sqrt{- y^{2} + 2}\right) = - i
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=iyy = - i y
limy(1yy2+2)=i\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \sqrt{- y^{2} + 2}\right) = i
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=iyy = i y
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
y2+2=y2+2\sqrt{- y^{2} + 2} = \sqrt{- y^{2} + 2}
- Да
y2+2=y2+2\sqrt{- y^{2} + 2} = - \sqrt{- y^{2} + 2}
- Нет
значит, функция
является
чётной