График функции y = sqrt(1-y^2)

Вы ввели

          ________
         /      2 
f(y) = \/  1 - y  

$$f{\left(y \right)} = \sqrt{1 - y^{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при ChainedEq(f, 0)
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{1 - y^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
Численное решение
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в sqrt(1 - y^2).
$$\sqrt{1 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\frac{y^{2}}{1 - y^{2}} + 1}{\sqrt{1 - y^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{1 - y^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt{1 - y^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(1 - y^2), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{y}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{y}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = i y$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{1 - y^{2}} = \sqrt{1 - y^{2}}$$
- Да
$$\sqrt{1 - y^{2}} = - \sqrt{1 - y^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График