График функции y = log(|x|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = log(|x|)
f(x)=log(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)}
График функции
02468-8-6-4-2-10105-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(x)=0\log{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(|x|).
log(0)\log{\left(\left|{0}\right| \right)}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
sign(x)x=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2δ(x)xsign2(x)x2=0\frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxlog(x)=\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limxlog(x)=\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(log(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(log(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(x)=log(x)\log{\left(\left|{x}\right| \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Да
log(x)=log(x)\log{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \log{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = log(|x|) /media/krcore-image-pods/hash/xy/c/e2/2bd40ea97f57d8222ef384a6ce9e3.png