График функции y = log(x)/(x+2)+1

Вы ввели

       log(x)    
f(x) = ------ + 1
       x + 2     

$$f{\left (x \right )} = 1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{LambertW}{\left (e^{-2} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.120028238987641$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)/(x + 2) + 1.
$$\frac{1}{2} \log{\left (0 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\log{\left (x \right )}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{2}{e} \right )} + 1}$$
Зн. экстремумы в точках:

              /   -1\                    /   -1\    
  1 + LambertW\2*e  /        1 + LambertW\2*e  /    
(e                  , 1 + ------------------------)
                                            /   -1\ 
                                1 + LambertW\2*e  / 
                           2 + e                    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{2}{e} \right )} + 1}$$
Убывает на промежутках

(-oo, exp(LambertW(2*exp(-1)) + 1)]

Возрастает на промежутках

[exp(LambertW(2*exp(-1)) + 1), oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x + 2) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2} = 1 + \frac{\log{\left (- x \right )}}{- x + 2}$$
- Нет
$$1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x + 2} = -1 - \frac{\log{\left (- x \right )}}{- x + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной