График функции y = log((x-5)/x+2)

Вы ввели

          /x - 5    \
f(x) = log|----- + 2|
          \  x      /

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log((x - 5)/x + 2).
$$\log{\left (- \tilde{\infty} + 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x - 5\right)}{2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{x^{2} \left(2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right)} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(\frac{1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)}{2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{1}{x^{2} \left(2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right)} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(\frac{1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)}{2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)} + 2\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{x^{2} \left(2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right)} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(\frac{1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)}{2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right)} + 2\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 5/6]

Выпуклая на промежутках

[5/6, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} = \log{\left (3 \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (3 \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} = \log{\left (3 \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (3 \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log((x - 5)/x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} = \log{\left (2 - \frac{1}{x} \left(- x - 5\right) \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (2 + \frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} = - \log{\left (2 - \frac{1}{x} \left(- x - 5\right) \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной