График функции y = (-x^3)/3+4*x^2-15*x

Вы ввели

         3               
       -x        2       
f(x) = ---- + 4*x  - 15*x
        3                

$$f{\left(x \right)} = 4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^3/3 + 4*x^2 - 15*x.
$$\frac{\left(-1\right) 0^{3}}{3} + 4 \cdot 0^{2} - 15 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{2} + 8 x - 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, -18)

(5, -50/3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left[3, 5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(4 - x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^3/3 + 4*x^2 - 15*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} + 15 x$$
- Нет
$$4 x^{2} - 15 x + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{3} = - \frac{x^{3}}{3} - 4 x^{2} - 15 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График