График функции y = ((|4*x-1|))

Вы ввели

f(x) = |4*x - 1|

$$f{\left (x \right )} = \left|{4 x - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{4 x - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.25$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |4*x - 1|.
$$\left|{-1 + 0 \cdot 4}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 \operatorname{sign}{\left (4 x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.25$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.25, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0.25$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0.25, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0.25]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{4 x - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{4 x - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |4*x - 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{4 x - 1}\right|\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{4 x - 1}\right|\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 4 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{4 x - 1}\right| = \left|{4 x + 1}\right|$$
- Нет
$$\left|{4 x - 1}\right| = - \left|{4 x + 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной