График функции y = ((|x-1|)/((|x|)-1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       |x - 1|
f(x) = -------
       |x| - 1
f(x)=x1x1f{\left (x \right )} = \frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1}
График функции
0-1000-800-600-400-20020040060080010000.751.50
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x1x1=0\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 1|/(|x| - 1).
11+0\frac{\left|{-1}\right|}{-1 + \left|{0}\right|}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sign(x1)x1x1(x1)2sign(x)=0\frac{\operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )}}{\left|{x}\right| - 1} - \frac{\left|{x - 1}\right|}{\left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=94x_{1} = 94
x2=34x_{2} = 34
x3=32x_{3} = 32
x4=92x_{4} = 92
x5=48x_{5} = 48
x6=60x_{6} = 60
x7=16x_{7} = 16
x8=12x_{8} = 12
x9=80x_{9} = 80
x10=20x_{10} = 20
x11=4x_{11} = 4
x12=52x_{12} = 52
x13=2x_{13} = 2
x14=70x_{14} = 70
x15=62x_{15} = 62
x16=96x_{16} = 96
x17=54x_{17} = 54
x18=78x_{18} = 78
x19=40x_{19} = 40
x20=46x_{20} = 46
x21=66x_{21} = 66
x22=22x_{22} = 22
x23=58x_{23} = 58
x24=24x_{24} = 24
x25=26x_{25} = 26
x26=76x_{26} = 76
x27=28x_{27} = 28
x28=74x_{28} = 74
x29=8x_{29} = 8
x30=6x_{30} = 6
x31=100x_{31} = 100
x32=1x_{32} = -1
x33=50x_{33} = 50
x34=42x_{34} = 42
x35=84x_{35} = 84
x36=82x_{36} = 82
x37=0.25x_{37} = 0.25
x38=72x_{38} = 72
x39=98x_{39} = 98
x40=38x_{40} = 38
x41=36x_{41} = 36
x42=90x_{42} = 90
x43=64x_{43} = 64
x44=30x_{44} = 30
x45=68x_{45} = 68
x46=14x_{46} = 14
x47=88x_{47} = 88
x48=10x_{48} = 10
x49=86x_{49} = 86
x50=56x_{50} = 56
x51=44x_{51} = 44
x52=18x_{52} = 18
Зн. экстремумы в точках:
(94, 1)

(34, 1)

(32, 1)

(92, 1)

(48, 1)

(60, 1)

(16, 1)

(12, 1)

(80, 1)

(20, 1)

(4, 1)

(52, 1)

(2, 1)

(70, 1)

(62, 1)

(96, 1)

(54, 1)

(78, 1)

(40, 1)

(46, 1)

(66, 1)

(22, 1)

(58, 1)

(24, 1)

(26, 1)

(76, 1)

(28, 1)

(74, 1)

(8, 1)

(6, 1)

(100, 1)

(-1, zoo)

(50, 1)

(42, 1)

(84, 1)

(82, 1)

(0.25, -1)

(72, 1)

(98, 1)

(38, 1)

(36, 1)

(90, 1)

(64, 1)

(30, 1)

(68, 1)

(14, 1)

(88, 1)

(10, 1)

(86, 1)

(56, 1)

(44, 1)

(18, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x52=50x_{52} = 50
Максимумы функции в точках:
x52=64x_{52} = 64
x52=88x_{52} = 88
Убывает на промежутках
[50, 64]

Возрастает на промежутках
(-oo, 50] U [88, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x1x1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(x1x1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 1|/(|x| - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x1x(x1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x \left(\left|{x}\right| - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x1x(x1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x \left(\left|{x}\right| - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x1x1=x+1x1\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1} = \frac{\left|{x + 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1}
- Нет
x1x1=x+1x1\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1} = - \frac{\left|{x + 1}\right|}{\left|{x}\right| - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной