Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−1 x2=1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: ∣x∣−1∣x−1∣=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Численное решение x1=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в |x - 1|/(|x| - 1). −1+∣0∣∣−1∣ Результат: f(0)=−1 Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная ∣x∣−1sign(x−1)−(∣x∣−1)2∣x−1∣sign(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=94 x2=34 x3=32 x4=92 x5=48 x6=60 x7=16 x8=12 x9=80 x10=20 x11=4 x12=52 x13=2 x14=70 x15=62 x16=96 x17=54 x18=78 x19=40 x20=46 x21=66 x22=22 x23=58 x24=24 x25=26 x26=76 x27=28 x28=74 x29=8 x30=6 x31=100 x32=−1 x33=50 x34=42 x35=84 x36=82 x37=0.25 x38=72 x39=98 x40=38 x41=36 x42=90 x43=64 x44=30 x45=68 x46=14 x47=88 x48=10 x49=86 x50=56 x51=44 x52=18 Зн. экстремумы в точках:
(94, 1)
(34, 1)
(32, 1)
(92, 1)
(48, 1)
(60, 1)
(16, 1)
(12, 1)
(80, 1)
(20, 1)
(4, 1)
(52, 1)
(2, 1)
(70, 1)
(62, 1)
(96, 1)
(54, 1)
(78, 1)
(40, 1)
(46, 1)
(66, 1)
(22, 1)
(58, 1)
(24, 1)
(26, 1)
(76, 1)
(28, 1)
(74, 1)
(8, 1)
(6, 1)
(100, 1)
(-1, zoo)
(50, 1)
(42, 1)
(84, 1)
(82, 1)
(0.25, -1)
(72, 1)
(98, 1)
(38, 1)
(36, 1)
(90, 1)
(64, 1)
(30, 1)
(68, 1)
(14, 1)
(88, 1)
(10, 1)
(86, 1)
(56, 1)
(44, 1)
(18, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x52=50 Максимумы функции в точках: x52=64 x52=88 Убывает на промежутках
[50, 64]
Возрастает на промежутках
(-oo, 50] U [88, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−1 x2=1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(∣x∣−1∣x−1∣)=1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=1 x→∞lim(∣x∣−1∣x−1∣)=1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 1|/(|x| - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(∣x∣−1)∣x−1∣)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x(∣x∣−1)∣x−1∣)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: ∣x∣−1∣x−1∣=∣x∣−1∣x+1∣ - Нет ∣x∣−1∣x−1∣=−∣x∣−1∣x+1∣ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной