График функции y = (|x-1|)/(|x+1|)

Вы ввели

       |x - 1|
f(x) = -------
       |x + 1|

$$f{\left (x \right )} = \frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x + 1}\right|}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x + 1}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 1|/|x + 1|.
$$\frac{\left|{-1}\right|}{\left|{1}\right|}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )}}{\left|{x + 1}\right|} - \frac{\left|{x - 1}\right|}{\left(x + 1\right)^{2}} \operatorname{sign}{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, zoo)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x + 1}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x + 1}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 1|/|x + 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x \left|{x + 1}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x \left|{x + 1}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x + 1}\right|} = \frac{\left|{x + 1}\right|}{\left|{x - 1}\right|}$$
- Нет
$$\frac{\left|{x - 1}\right|}{\left|{x + 1}\right|} = - \frac{\left|{x + 1}\right|}{\left|{x - 1}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной