График функции y = (((|x-3|)))-x

Вы ввели

f(x) = |x - 3| - x

$$f{\left (x \right )} = - x + \left|{x - 3}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \left|{x - 3}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 3| - x.
$$- 0 + \left|{-3}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x - 3 \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 94$$
$$x_{2} = 34$$
$$x_{3} = 32$$
$$x_{4} = 92$$
$$x_{5} = 48$$
$$x_{6} = 60$$
$$x_{7} = 16$$
$$x_{8} = 12$$
$$x_{9} = 80$$
$$x_{10} = 20$$
$$x_{11} = 4$$
$$x_{12} = 52$$
$$x_{13} = 70$$
$$x_{14} = 62$$
$$x_{15} = 96$$
$$x_{16} = 54$$
$$x_{17} = 78$$
$$x_{18} = 40$$
$$x_{19} = 46$$
$$x_{20} = 66$$
$$x_{21} = 22$$
$$x_{22} = 58$$
$$x_{23} = 24$$
$$x_{24} = 26$$
$$x_{25} = 76$$
$$x_{26} = 28$$
$$x_{27} = 74$$
$$x_{28} = 8$$
$$x_{29} = 6$$
$$x_{30} = 100$$
$$x_{31} = 50$$
$$x_{32} = 42$$
$$x_{33} = 84$$
$$x_{34} = 82$$
$$x_{35} = 72$$
$$x_{36} = 98$$
$$x_{37} = 38$$
$$x_{38} = 36$$
$$x_{39} = 90$$
$$x_{40} = 64$$
$$x_{41} = 30$$
$$x_{42} = 68$$
$$x_{43} = 14$$
$$x_{44} = 88$$
$$x_{45} = 10$$
$$x_{46} = 86$$
$$x_{47} = 56$$
$$x_{48} = 44$$
$$x_{49} = 18$$
Зн. экстремумы в точках:

(94, -3)

(34, -3)

(32, -3)

(92, -3)

(48, -3)

(60, -3)

(16, -3)

(12, -3)

(80, -3)

(20, -3)

(4, -3)

(52, -3)

(70, -3)

(62, -3)

(96, -3)

(54, -3)

(78, -3)

(40, -3)

(46, -3)

(66, -3)

(22, -3)

(58, -3)

(24, -3)

(26, -3)

(76, -3)

(28, -3)

(74, -3)

(8, -3)

(6, -3)

(100, -3)

(50, -3)

(42, -3)

(84, -3)

(82, -3)

(72, -3)

(98, -3)

(38, -3)

(36, -3)

(90, -3)

(64, -3)

(30, -3)

(68, -3)

(14, -3)

(88, -3)

(10, -3)

(86, -3)

(56, -3)

(44, -3)

(18, -3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \left|{x - 3}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \left|{x - 3}\right|\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -3$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 3| - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \left|{x - 3}\right|\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \left|{x - 3}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \left|{x - 3}\right| = x + \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
$$- x + \left|{x - 3}\right| = - x - \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной