График функции y = (|x|+1)/(|x|-3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       |x| + 1
f(x) = -------
       |x| - 3
f(x)=x+1x3f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200200
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+1x3=0\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (|x| + 1)/(|x| - 1*3).
0+1(1)3+0\frac{\left|{0}\right| + 1}{\left(-1\right) 3 + \left|{0}\right|}
Результат:
f(0)=13f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{3}
Точка:
(0, -1/3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(x+1)sign(x)(x3)2+sign(x)x3=0- \frac{\left(\left|{x}\right| + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| - 3\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 3} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(δ(x)(x+1)(δ(x)sign2(x)x3)x3sign2(x)x3)x3=0\frac{2 \left(\delta\left(x\right) - \frac{\left(\left|{x}\right| + 1\right) \left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 3}\right)}{\left|{x}\right| - 3} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 3}\right)}{\left|{x}\right| - 3} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+1x3)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(x+1x3)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (|x| + 1)/(|x| - 1*3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x+1x(x3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{x \left(\left|{x}\right| - 3\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x+1x(x3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{x \left(\left|{x}\right| - 3\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+1x3=x+1x3\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3} = \frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}
- Да
x+1x3=x+1x3\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3} = - \frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = (|x|+1)/(|x|-3) /media/krcore-image-pods/hash/xy/f/9e/da0b1703c36aafd2ff2c3904eaa8d.png