График функции y = |x+3|+|x-1|

Вы ввели

f(x) = |x + 3| + |x - 1|

$$f{\left(x \right)} = \left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x + 3| + |x - 1*1|.
$$\left|{\left(-1\right) 1 + 0}\right| + \left|{0 + 3}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} + \operatorname{sign}{\left(x + 3 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 4)

(0, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \left(\delta\left(x - 1\right) + \delta\left(x + 3\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x + 3| + |x - 1*1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right|}{x}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right|}{x}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right| = \left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right|$$
- Нет
$$\left|{x + 3}\right| + \left|{x - 1}\right| = - \left|{x - 3}\right| - \left|{x + 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График