График функции y = 1/(Abs((|x|)-1))

Вы ввели

             1    
f(x) = 1*---------
         ||x| - 1|

$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/Abs(|x| - 1*1).
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{\left(-1\right) 1 + \left|{0}\right|}\right|}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left|{x}\right| - 1 \right)}}{\left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \left(\delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x}\right| - 1 \right)} + \delta\left(\left|{x}\right| - 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left|{x}\right| - 1 \right)}}{\left|{x}\right| - 1}\right)}{\left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/Abs(|x| - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|} = 1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|} = - \frac{1}{\left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График