График функции y = 1/6*(2*x^3+21*x^2+60*x)

Вы ввели

          3       2       
       2*x  + 21*x  + 60*x
f(x) = -------------------
                6         

$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^3 + 21*x^2 + 60*x)/6.
$$\frac{2 \cdot 0^{3} + 21 \cdot 0^{2} + 60 \cdot 0}{6}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + 7 x + 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5, -25/6)

(-2, -26/3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[-2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-5, -2\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{7}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{7}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{7}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^3 + 21*x^2 + 60*x)/6, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 10 x$$
- Нет
$$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 60 x}{6} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + 10 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График