График функции y = 1/(x^x+1)

Вы ввели

         1   
f(x) = ------
        x    
       x  + 1

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{x} + 1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x^{x} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(x^x + 1).
$$\frac{1}{0^{0} + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{x^{x}}{\left(x^{x} + 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:

  -1      1     
(e , ---------)
             -1 
           -e   
      1 + e     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{-1}$$
Убывает на промежутках

(-oo, exp(-1)]

Возрастает на промежутках

[exp(-1), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x^{x}}{\left(x^{x} + 1\right)^{2}} \left(\frac{2 x^{x}}{x^{x} + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.536496925$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1.536496925, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1.536496925]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{x} + 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{x} + 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x^x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{x} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{x} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x^{x} + 1} = \frac{1}{1 + \left(- x\right)^{- x}}$$
- Нет
$$\frac{1}{x^{x} + 1} = - \frac{1}{1 + \left(- x\right)^{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной