График функции y = 7*x^3-x

Вы ввели

          3    
f(x) = 7*x  - x

$$f{\left (x \right )} = 7 x^{3} - x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$7 x^{3} - x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{7}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{7}}{7}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.377964473009$$
$$x_{3} = -0.377964473009$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 7*x^3 - x.
$$7 \cdot 0^{3} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$21 x^{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{21}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{21}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ____       ____ 
 -\/ 21    2*\/ 21  
(--------, --------)
    21        63    

   ____       ____ 
 \/ 21   -2*\/ 21  
(------, ---------)
   21        63    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{21}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{21}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(21)/21] U [sqrt(21)/21, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(21)/21, sqrt(21)/21]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$42 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(7 x^{3} - x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{3} - x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 7*x^3 - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(7 x^{3} - x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(7 x^{3} - x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$7 x^{3} - x = - 7 x^{3} + x$$
- Нет
$$7 x^{3} - x = - -1 \cdot 7 x^{3} - x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной