График функции y = 6*sin(x)-8*cos(x)

Вы ввели

f(x) = 6*sin(x) - 8*cos(x)

$$f{\left(x \right)} = 6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = 88.8918895185158$$
$$x_{2} = -90.1788917361024$$
$$x_{3} = -206.417819918925$$
$$x_{4} = -55.6213725466147$$
$$x_{5} = 44.9095923682587$$
$$x_{6} = -36.7718166250759$$
$$x_{7} = 22.9184437931302$$
$$x_{8} = -58.7629652002045$$
$$x_{9} = 76.3255189041567$$
$$x_{10} = -2.21429743558818$$
$$x_{11} = 32.3432217538995$$
$$x_{12} = -87.0372990825126$$
$$x_{13} = 54.3343703290281$$
$$x_{14} = 0.927295218001612$$
$$x_{15} = 51.1927776754383$$
$$x_{16} = 104.599852786465$$
$$x_{17} = 85.750296864926$$
$$x_{18} = -99.6036696968718$$
$$x_{19} = -52.4797798930249$$
$$x_{20} = 48.0511850218485$$
$$x_{21} = -83.8957064289228$$
$$x_{22} = 13.4936658323608$$
$$x_{23} = -74.4709284681534$$
$$x_{24} = -77.6125211217432$$
$$x_{25} = -71.3293358145636$$
$$x_{26} = 70.0423335969771$$
$$x_{27} = -27.3470386643065$$
$$x_{28} = 35.4848144074893$$
$$x_{29} = -93.3204843896922$$
$$x_{30} = 82.6087042113362$$
$$x_{31} = -49.3381872394351$$
$$x_{32} = -96.462077043282$$
$$x_{33} = -5.35589008917797$$
$$x_{34} = 98.3166674792852$$
$$x_{35} = 79.4671115577464$$
$$x_{36} = 10.352073178771$$
$$x_{37} = 41.7679997146689$$
$$x_{38} = 4.06888787159141$$
$$x_{39} = -17.9222607035371$$
$$x_{40} = 19.7768511395404$$
$$x_{41} = 29.2016291003098$$
$$x_{42} = -39.9134092786657$$
$$x_{43} = 38.6264070610791$$
$$x_{44} = -43.0550019322555$$
$$x_{45} = -21.0638533571269$$
$$x_{46} = 57.4759629826179$$
$$x_{47} = -46.1965945858453$$
$$x_{48} = 60.6175556362077$$
$$x_{49} = -14.7806680499474$$
$$x_{50} = 26.06003644672$$
$$x_{51} = 63.7591482897975$$
$$x_{52} = -68.1877431609738$$
$$x_{53} = -8.49748274276777$$
$$x_{54} = -30.4886313178963$$
$$x_{55} = 66.9007409433873$$
$$x_{56} = -58357.297837866$$
$$x_{57} = -33.6302239714861$$
$$x_{58} = 73.1839262505669$$
$$x_{59} = -61.9045578537943$$
$$x_{60} = 16.6352584859506$$
$$x_{61} = -11.6390753963576$$
$$x_{62} = -80.754113775333$$
$$x_{63} = -65.046150507384$$
$$x_{64} = -24.2054460107167$$
$$x_{65} = 92.0334821721056$$
$$x_{66} = 95.1750748256954$$
$$x_{67} = 7.2104805251812$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 6*sin(x) - 8*cos(x).
$$- 8 \cos{\left(0 \right)} + 6 \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -8$$
Точка:

(0, -8)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-atan(3/4), -10)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -14, 14\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -14, 14\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -14, 14\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -14, 14\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*sin(x) - 8*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} = - 6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} = 6 \sin{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График