График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(x)/2 + cos(x). 21sin(0)+cos(0) Результат: f(0)=1 Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −sin(x)+21cos(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2atan(2+5) x2=−2atan(−5+2) Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=−2atan(2+5) Максимумы функции в точках: x2=−2atan(−5+2) Убывает на промежутках
[-2*atan(2 + sqrt(5)), -2*atan(-sqrt(5) + 2)]
Возрастает на промежутках
(-oo, -2*atan(2 + sqrt(5))] U [-2*atan(-sqrt(5) + 2), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная −21sin(x)+cos(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=2atan(21+25) x2=2atan(−25+21)
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2)] U [2*atan(1/2 + sqrt(5)/2), oo)
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(21sin(x)+cos(x))=⟨−23,23⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−23,23⟩ x→∞lim(21sin(x)+cos(x))=⟨−23,23⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−23,23⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/2 + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(21sin(x)+cos(x)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1(21sin(x)+cos(x)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 21sin(x)+cos(x)=−21sin(x)+cos(x) - Нет 21sin(x)+cos(x)=−21(−1sin(x))−cos(x) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной