График функции y = sin(x)/2+cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       sin(x)         
f(x) = ------ + cos(x)
         2            
f(x)=12sin(x)+cos(x)f{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}
График функции
0-60000-50000-40000-30000-20000-100001000020000300004000050000600002.5-2.5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
12sin(x)+cos(x)=0\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2atan(12+52)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}
x2=2atan(52+12)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}
Численное решение
x1=64.8662970076x_{1} = 64.8662970076
x2=24.0255925109x_{2} = 24.0255925109
x3=98.4965209791x_{3} = -98.4965209791
x4=89.0717430183x_{4} = -89.0717430183
x5=10.5319266786x_{5} = -10.5319266786
x6=16.8151119857x_{6} = -16.8151119857
x7=17.7424072037x_{7} = 17.7424072037
x8=57.6558164824x_{8} = -57.6558164824
x9=63.9390017896x_{9} = -63.9390017896
x10=48.2310385216x_{10} = -48.2310385216
x11=71.1494823148x_{11} = 71.1494823148
x12=74.2910749684x_{12} = 74.2910749684
x13=54.5142238288x_{13} = -54.5142238288
x14=39.7335557789x_{14} = 39.7335557789
x15=11.4592218966x_{15} = 11.4592218966
x16=26.2398899465x_{16} = -26.2398899465
x17=89.9990382363x_{17} = 89.9990382363
x18=7.39033402497x_{18} = -7.39033402497
x19=32.5230752537x_{19} = -32.5230752537
x20=45.0894458681x_{20} = -45.0894458681
x21=30.3087778181x_{21} = 30.3087778181
x22=23.0982972929x_{22} = -23.0982972929
x23=55.4415190468x_{23} = 55.4415190468
x24=33.4503704717x_{24} = 33.4503704717
x25=96.2822235435x_{25} = 96.2822235435
x26=83.7158529291x_{26} = 83.7158529291
x27=80.5742602755x_{27} = 80.5742602755
x28=86.8574455827x_{28} = 86.8574455827
x29=35.6646679073x_{29} = -35.6646679073
x30=13.6735193322x_{30} = -13.6735193322
x31=8.31762924298x_{31} = 8.31762924298
x32=52.2999263932x_{32} = 52.2999263932
x33=243.009783044x_{33} = -243.009783044
x34=1.10714871779x_{34} = -1.10714871779
x35=95.3549283255x_{35} = -95.3549283255
x36=14.6008145502x_{36} = 14.6008145502
x37=4.24874137138x_{37} = -4.24874137138
x38=2.0344439358x_{38} = 2.0344439358
x39=38.8062605609x_{39} = -38.8062605609
x40=29.3814826001x_{40} = -29.3814826001
x41=73.3637797504x_{41} = -73.3637797504
x42=70.2221870968x_{42} = -70.2221870968
x43=76.5053724039x_{43} = -76.5053724039
x44=79.6469650575x_{44} = -79.6469650575
x45=104.779706286x_{45} = -104.779706286
x46=61.724704354x_{46} = 61.724704354
x47=41.9478532145x_{47} = -41.9478532145
x48=19.9567046393x_{48} = -19.9567046393
x49=68.0078896612x_{49} = 68.0078896612
x50=5.17603658939x_{50} = 5.17603658939
x51=27.1671851645x_{51} = 27.1671851645
x52=67.0805944432x_{52} = -67.0805944432
x53=46.0167410861x_{53} = 46.0167410861
x54=82.7885577111x_{54} = -82.7885577111
x55=36.5919631253x_{55} = 36.5919631253
x56=51.3726311752x_{56} = -51.3726311752
x57=85.9301503647x_{57} = -85.9301503647
x58=58.5831117004x_{58} = 58.5831117004
x59=92.2133356719x_{59} = -92.2133356719
x60=93.1406308899x_{60} = 93.1406308899
x61=77.432667622x_{61} = 77.432667622
x62=49.1583337396x_{62} = 49.1583337396
x63=42.8751484325x_{63} = 42.8751484325
x64=60.797409136x_{64} = -60.797409136
x65=99.4238161971x_{65} = 99.4238161971
x66=20.8839998573x_{66} = 20.8839998573
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/2 + cos(x).
12sin(0)+cos(0)\frac{1}{2} \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sin(x)+12cos(x)=0- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2atan(2+5)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}
x2=2atan(5+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}
Зн. экстремумы в точках:
                          /      /      ___\\                          
        /      ___\    sin\2*atan\2 + \/ 5 //      /      /      ___\\ 
(-2*atan\2 + \/ 5 /, - ---------------------- + cos\2*atan\2 + \/ 5 //)
                                 2                                     

                          /      /      ___\\                          
        /      ___\    sin\2*atan\2 - \/ 5 //      /      /      ___\\ 
(-2*atan\2 - \/ 5 /, - ---------------------- + cos\2*atan\2 - \/ 5 //)
                                 2                                     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2atan(2+5)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}
Максимумы функции в точках:
x2=2atan(5+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}
Убывает на промежутках
[-2*atan(2 + sqrt(5)), -2*atan(-sqrt(5) + 2)]

Возрастает на промежутках
(-oo, -2*atan(2 + sqrt(5))] U [-2*atan(-sqrt(5) + 2), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
12sin(x)+cos(x)=0- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2atan(12+52)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}
x2=2atan(52+12)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2)] U [2*atan(1/2 + sqrt(5)/2), oo)

Выпуклая на промежутках
[2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2), 2*atan(1/2 + sqrt(5)/2)]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(12sin(x)+cos(x))=32,32\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=32,32y = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle
limx(12sin(x)+cos(x))=32,32\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=32,32y = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/2 + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(12sin(x)+cos(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(12sin(x)+cos(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
12sin(x)+cos(x)=12sin(x)+cos(x)\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}
- Нет
12sin(x)+cos(x)=12(1sin(x))cos(x)\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \left(-1 \sin{\left (x \right )}\right) - \cos{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной