График функции y = sin(x/3)-1

Вы ввели

          /x\    
f(x) = sin|-| - 1
          \3/    

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -14.1371668364$$
$$x_{2} = 4.7123879029$$
$$x_{3} = -89.5353921368$$
$$x_{4} = 61.2610582932$$
$$x_{5} = 80.1106118137$$
$$x_{6} = 23.5619466933$$
$$x_{7} = 42.4114997223$$
$$x_{8} = 61.2610571432$$
$$x_{9} = 42.4115022428$$
$$x_{10} = -89.5353892213$$
$$x_{11} = 61.2610579348$$
$$x_{12} = 4.71238962103$$
$$x_{13} = -51.836279658$$
$$x_{14} = 80.1106139543$$
$$x_{15} = -70.6858331575$$
$$x_{16} = 42.411500727$$
$$x_{17} = 23.5619442759$$
$$x_{18} = -51.8362773184$$
$$x_{19} = -51.8362774684$$
$$x_{20} = -32.9867221903$$
$$x_{21} = -51.8362786892$$
$$x_{22} = -32.9867231189$$
$$x_{23} = -32.9867232461$$
$$x_{24} = 61.2610571768$$
$$x_{25} = 80.1106131349$$
$$x_{26} = 61.2610562503$$
$$x_{27} = 42.4115015903$$
$$x_{28} = 42.4114993204$$
$$x_{29} = -70.6858342886$$
$$x_{30} = 42.411502241$$
$$x_{31} = 80.1106112094$$
$$x_{32} = 23.5619464414$$
$$x_{33} = -70.6858362309$$
$$x_{34} = -89.5353907512$$
$$x_{35} = 80.1106135539$$
$$x_{36} = 4.71239047793$$
$$x_{37} = 4.71239032745$$
$$x_{38} = 4.71238873614$$
$$x_{39} = 23.5619451602$$
$$x_{40} = -32.9867240408$$
$$x_{41} = -14.1371654301$$
$$x_{42} = 42.4114998547$$
$$x_{43} = -1465.55297109$$
$$x_{44} = 98.9601691211$$
$$x_{45} = 98.9601682289$$
$$x_{46} = -70.6858340828$$
$$x_{47} = -89.5353916822$$
$$x_{48} = 4.71238820065$$
$$x_{49} = -70.6858359752$$
$$x_{50} = -32.9867232128$$
$$x_{51} = 23.561943565$$
$$x_{52} = -89.5353916158$$
$$x_{53} = -51.8362779177$$
$$x_{54} = -32.9867215976$$
$$x_{55} = -32.9867213252$$
$$x_{56} = 98.9601682192$$
$$x_{57} = -32.9867244036$$
$$x_{58} = 98.9601674271$$
$$x_{59} = 4.71238732643$$
$$x_{60} = -14.1371683499$$
$$x_{61} = -89.5353898824$$
$$x_{62} = -89.5353891908$$
$$x_{63} = -14.1371658196$$
$$x_{64} = 80.1106113645$$
$$x_{65} = 61.2610570541$$
$$x_{66} = -14.1371683493$$
$$x_{67} = -89.5353932769$$
$$x_{68} = 23.5619457138$$
$$x_{69} = 80.1106141414$$
$$x_{70} = -70.6858343318$$
$$x_{71} = -89.535393851$$
$$x_{72} = -70.685835224$$
$$x_{73} = -127.234505848$$
$$x_{74} = 4.71238744832$$
$$x_{75} = -14.1371632785$$
$$x_{76} = 42.4114972812$$
$$x_{77} = 23.5619434128$$
$$x_{78} = -14.1371659593$$
$$x_{79} = -70.685833533$$
$$x_{80} = -32.9867223531$$
$$x_{81} = -14.1371676938$$
$$x_{82} = 2681.34933187$$
$$x_{83} = 61.261055215$$
$$x_{84} = -51.8362802506$$
$$x_{85} = -51.8362800573$$
$$x_{86} = 61.261055491$$
$$x_{87} = 98.9601670471$$
$$x_{88} = 117.809726869$$
$$x_{89} = 23.5619459918$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x/3) - 1.
$$-1 + \sin{\left (\frac{0}{3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{3} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 3*pi    
(----, 0)
  2      

 9*pi     
(----, -2)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3*pi/2] U [9*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[3*pi/2, 9*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{9} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [3*pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, 3*pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) = \langle -2, 0\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 0\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) = \langle -2, 0\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 0\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x/3) - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1 = - \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1$$
- Нет
$$\sin{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1 = - -1 \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной