График функции y = sin(x^2)

Вы ввели

          / 2\
f(x) = sin\x /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x^{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\pi}$$
$$x_{3} = \sqrt{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.77245385090552$$
$$x_{2} = 42.2424505354389$$
$$x_{3} = 86.2148955714351$$
$$x_{4} = 82.1853040708499$$
$$x_{5} = -65.7004437278195$$
$$x_{6} = -43.5966002736661$$
$$x_{7} = -43.8480866628973$$
$$x_{8} = -55.8533929588406$$
$$x_{9} = -5.87856438167413$$
$$x_{10} = 16.244807875181$$
$$x_{11} = -13.6144763601762$$
$$x_{12} = -509.434811845833$$
$$x_{13} = 5.60499121639793$$
$$x_{14} = -44.5587988737213$$
$$x_{15} = 1523.05464995283$$
$$x_{16} = 94.1238082693386$$
$$x_{17} = -7.72594721818665$$
$$x_{18} = 83.568896540101$$
$$x_{19} = -64.1275664870346$$
$$x_{20} = -95.8600986425016$$
$$x_{21} = 84.7262604713124$$
$$x_{22} = 66.2243410266297$$
$$x_{23} = 70.4759390524558$$
$$x_{24} = -47.3281688005095$$
$$x_{25} = -93.8731452190634$$
$$x_{26} = 23.7138163312566$$
$$x_{27} = 8.1224039375905$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = -19.8166364880301$$
$$x_{30} = 60.0806953935677$$
$$x_{31} = -67.5860615683408$$
$$x_{32} = 6.13996024767893$$
$$x_{33} = -11.6227571644753$$
$$x_{34} = 32.6343363586107$$
$$x_{35} = -3.96332729760601$$
$$x_{36} = 64.2499240996983$$
$$x_{37} = -30.2357976940353$$
$$x_{38} = -79.405141242584$$
$$x_{39} = 53.8779325133859$$
$$x_{40} = 96.2035963853511$$
$$x_{41} = 22.137941502317$$
$$x_{42} = -41.8314129339366$$
$$x_{43} = 97.6620463450291$$
$$x_{44} = -86.2331131935235$$
$$x_{45} = -15.7539144225679$$
$$x_{46} = -25.6240680728152$$
$$x_{47} = -219.061242084455$$
$$x_{48} = 18.2485292908913$$
$$x_{49} = -30.9037888727466$$
$$x_{50} = -39.7914902637393$$
$$x_{51} = 56.3015718028556$$
$$x_{52} = -33.862683274665$$
$$x_{53} = -102.358250765251$$
$$x_{54} = -22.2793994368607$$
$$x_{55} = -50.3514177699791$$
$$x_{56} = -59.4499094640902$$
$$x_{57} = -53.9070793548543$$
$$x_{58} = 28.2482660354898$$
$$x_{59} = 30.3395228621317$$
$$x_{60} = 9.86860538583257$$
$$x_{61} = 56.6908218728778$$
$$x_{62} = 46.1519210773927$$
$$x_{63} = 25.8681123241458$$
$$x_{64} = 105.367871942952$$
$$x_{65} = 78.2292943160867$$
$$x_{66} = -89.7498945058111$$
$$x_{67} = 80.212104788192$$
$$x_{68} = -60.9888981852461$$
$$x_{69} = -9.86860538583257$$
$$x_{70} = -67.446468865301$$
$$x_{71} = 3.96332729760601$$
$$x_{72} = 52.2498231190263$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x^2).
$$\sin{\left(0^{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x \cos{\left(x^{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

    ___   ____     
 -\/ 2 *\/ pi      
(--------------, 1)
       2           

   ___   ____    
 \/ 2 *\/ pi     
(------------, 1)
      2          

    ___   ____      
 -\/ 6 *\/ pi       
(--------------, -1)
       2            

   ___   ____     
 \/ 6 *\/ pi      
(------------, -1)
      2           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -9.86886548575814$$
$$x_{2} = -59.8186774525393$$
$$x_{3} = -48.0200918842023$$
$$x_{4} = 33.3485269383943$$
$$x_{5} = -51.3400080449723$$
$$x_{6} = 94.1238085691455$$
$$x_{7} = -33.8626897130311$$
$$x_{8} = 80.2316859157274$$
$$x_{9} = -100.312119502767$$
$$x_{10} = -5.87979427872852$$
$$x_{11} = 18.2485704298816$$
$$x_{12} = 70.0287529105774$$
$$x_{13} = -89.7498948516216$$
$$x_{14} = -3.07855253413366$$
$$x_{15} = -22.0668957515546$$
$$x_{16} = -5.319022925319$$
$$x_{17} = 22.698505802003$$
$$x_{18} = -8.50079702379371$$
$$x_{19} = -48.3785772894901$$
$$x_{20} = 82.1853045212075$$
$$x_{21} = 1.81447238096425$$
$$x_{22} = -19.8166686134035$$
$$x_{23} = -87.803578724131$$
$$x_{24} = -0.808251932935767$$
$$x_{25} = 33.0171638614708$$
$$x_{26} = 96.1709354546847$$
$$x_{27} = -1.81447238096425$$
$$x_{28} = 12.1514707300601$$
$$x_{29} = -64.7127740607003$$
$$x_{30} = -3.96733151576786$$
$$x_{31} = 25.3157200470873$$
$$x_{32} = 16.244866191735$$
$$x_{33} = -53.8779341118659$$
$$x_{34} = 22.1379645446803$$
$$x_{35} = 59.3176526349719$$
$$x_{36} = 58.4103566874062$$
$$x_{37} = 56.2457461521626$$
$$x_{38} = 8.12287039886387$$
$$x_{39} = -74.0622769317944$$
$$x_{40} = 48.3460975487031$$
$$x_{41} = -41.8314163492637$$
$$x_{42} = -11.6229163837568$$
$$x_{43} = 0.808251932935767$$
$$x_{44} = 48.9274341336244$$
$$x_{45} = -43.8480896283294$$
$$x_{46} = -66.6970412378293$$
$$x_{47} = -15.7539783621169$$
$$x_{48} = 3.96733151576786$$
$$x_{49} = 78.2292948382806$$
$$x_{50} = -6.63277181383793$$
$$x_{51} = -91.9799384388618$$
$$x_{52} = -4.34465629687618$$
$$x_{53} = -14.1797184947322$$
$$x_{54} = -95.8600989263108$$
$$x_{55} = -26.049659306849$$
$$x_{56} = -83.9065504458045$$
$$x_{57} = 64.2499250422868$$
$$x_{58} = 52.2498248716371$$
$$x_{59} = 45.3969715219982$$
$$x_{60} = 66.979059569236$$
$$x_{61} = -81.5521411296421$$
$$x_{62} = -32.8263117664724$$
$$x_{63} = -17.7245834055135$$
$$x_{64} = -77.3407557244222$$
$$x_{65} = 4.34465629687618$$
$$x_{66} = 42.3167589941069$$
$$x_{67} = 55.486583629928$$
$$x_{68} = 36.839766486297$$
$$x_{69} = -24.3672290918915$$
$$x_{70} = 86.7959633259416$$
$$x_{71} = -16.4371171083255$$
$$x_{72} = 86.2148959615504$$
$$x_{73} = 9.86886548575814$$
$$x_{74} = -104.859784155019$$
$$x_{75} = -55.8533943936404$$
$$x_{76} = -7.72648921717798$$
$$x_{77} = -39.7914942317174$$
$$x_{78} = 5.319022925319$$
$$x_{79} = -33.81627068654$$
$$x_{80} = 3.07855253413366$$
$$x_{81} = 6.14103975852348$$
$$x_{82} = 28.2482771263222$$
$$x_{83} = 15.6539537308685$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[80.2316859157274, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -104.859784155019\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x^{2} \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(x^{2} \right)} = - \sin{\left(x^{2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График