График функции y = 111*cos(x)-113*x+69

Вы ввели

f(x) = 111*cos(x) - 113*x + 69

$$f{\left(x \right)} = - 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1.07657245734959$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 111*cos(x) - 113*x + 69.
$$- 0 \cdot 113 + 69 + 111 \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 180$$
Точка:

(0, 180)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 111 \sin{\left(x \right)} - 113 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 111 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 111*cos(x) - 113*x + 69, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69}{x}\right) = -113$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 113 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69}{x}\right) = -113$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - 113 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69 = 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69$$
- Нет
$$- 113 x + 111 \cos{\left(x \right)} + 69 = - 113 x - 111 \cos{\left(x \right)} - 69$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График