График функции y = 108*x-x^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                3
f(x) = 108*x - x 
f(x)=x3+108xf{\left(x \right)} = - x^{3} + 108 x
График функции
02468-10-8-6-4-210-10001000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+108x=0- x^{3} + 108 x = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=63x_{2} = - 6 \sqrt{3}
x3=63x_{3} = 6 \sqrt{3}
Численное решение
x1=10.3923048454133x_{1} = -10.3923048454133
x2=0x_{2} = 0
x3=10.3923048454133x_{3} = 10.3923048454133
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 108*x - x^3.
108003108 \cdot 0 - 0^{3}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
1083x2=0108 - 3 x^{2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6x_{1} = -6
x2=6x_{2} = 6
Зн. экстремумы в точках:
(-6, -432)

(6, 432)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=6x_{1} = -6
Максимумы функции в точках:
x1=6x_{1} = 6
Убывает на промежутках
[6,6]\left[-6, 6\right]
Возрастает на промежутках
(,6][6,)\left(-\infty, -6\right] \cup \left[6, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6x=0- 6 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Выпуклая на промежутках
[0,)\left[0, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+108x)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + 108 x\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+108x)=\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 108 x\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 108*x - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x3+108xx)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 108 x}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x3+108xx)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 108 x}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+108x=x3108x- x^{3} + 108 x = x^{3} - 108 x
- Нет
x3+108x=x3+108x- x^{3} + 108 x = - x^{3} + 108 x
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 108*x-x^3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/d/27/04920ed8c6e57d7008b0d0709acb2.png