График функции y = tan(|x|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = tan(|x|)
f(x)=tan(x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}
График функции
0-100-80-60-40-2020406080-100100
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
tan(x)=0\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=100.530964914873x_{1} = -100.530964914873
x2=78.5398163397448x_{2} = -78.5398163397448
x3=97.3893722612836x_{3} = 97.3893722612836
x4=18.8495559215388x_{4} = 18.8495559215388
x5=94.2477796076938x_{5} = -94.2477796076938
x6=65.9734457253857x_{6} = -65.9734457253857
x7=56.5486677646163x_{7} = -56.5486677646163
x8=56.5486677646163x_{8} = 56.5486677646163
x9=69.1150383789755x_{9} = -69.1150383789755
x10=6.28318530717959x_{10} = 6.28318530717959
x11=78.5398163397448x_{11} = 78.5398163397448
x12=3.14159265358979x_{12} = -3.14159265358979
x13=21.9911485751286x_{13} = -21.9911485751286
x14=81.6814089933346x_{14} = 81.6814089933346
x15=91.106186954104x_{15} = -91.106186954104
x16=62.8318530717959x_{16} = -62.8318530717959
x17=31.4159265358979x_{17} = -31.4159265358979
x18=0x_{18} = 0
x19=62.8318530717959x_{19} = 62.8318530717959
x20=84.8230016469244x_{20} = 84.8230016469244
x21=72.2566310325652x_{21} = 72.2566310325652
x22=91.106186954104x_{22} = 91.106186954104
x23=18.8495559215388x_{23} = -18.8495559215388
x24=9.42477796076938x_{24} = -9.42477796076938
x25=28.2743338823081x_{25} = 28.2743338823081
x26=43.9822971502571x_{26} = 43.9822971502571
x27=6.28318530717959x_{27} = -6.28318530717959
x28=34.5575191894877x_{28} = -34.5575191894877
x29=59.6902604182061x_{29} = -59.6902604182061
x30=53.4070751110265x_{30} = -53.4070751110265
x31=87.9645943005142x_{31} = 87.9645943005142
x32=69.1150383789755x_{32} = 69.1150383789755
x33=84.8230016469244x_{33} = -84.8230016469244
x34=75.398223686155x_{34} = -75.398223686155
x35=75.398223686155x_{35} = 75.398223686155
x36=3.14159265358979x_{36} = 3.14159265358979
x37=100.530964914873x_{37} = 100.530964914873
x38=37.6991118430775x_{38} = -37.6991118430775
x39=94.2477796076938x_{39} = 94.2477796076938
x40=21.9911485751286x_{40} = 21.9911485751286
x41=87.9645943005142x_{41} = -87.9645943005142
x42=25.1327412287183x_{42} = -25.1327412287183
x43=50.2654824574367x_{43} = 50.2654824574367
x44=43.9822971502571x_{44} = -43.9822971502571
x45=65.9734457253857x_{45} = 65.9734457253857
x46=9.42477796076938x_{46} = 9.42477796076938
x47=40.8407044966673x_{47} = 40.8407044966673
x48=37.6991118430775x_{48} = 37.6991118430775
x49=28.2743338823081x_{49} = -28.2743338823081
x50=53.4070751110265x_{50} = 53.4070751110265
x51=40.8407044966673x_{51} = -40.8407044966673
x52=47.1238898038469x_{52} = 47.1238898038469
x53=50.2654824574367x_{53} = -50.2654824574367
x54=97.3893722612836x_{54} = -97.3893722612836
x55=15.707963267949x_{55} = 15.707963267949
x56=25.1327412287183x_{56} = 25.1327412287183
x57=12.5663706143592x_{57} = -12.5663706143592
x58=31.4159265358979x_{58} = 31.4159265358979
x59=12.5663706143592x_{59} = 12.5663706143592
x60=59.6902604182061x_{60} = 59.6902604182061
x61=15.707963267949x_{61} = -15.707963267949
x62=81.6814089933346x_{62} = -81.6814089933346
x63=72.2566310325652x_{63} = -72.2566310325652
x64=34.5575191894877x_{64} = 34.5575191894877
x65=47.1238898038469x_{65} = -47.1238898038469
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(|x|).
tan(0)\tan{\left(\left|{0}\right| \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(tan2(x)+1)sign(x)=0\left(\tan^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)} + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0,)\left[0, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(tan(x)sign2(x)+δ(x))(tan2(x)+1)=02 \left(\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + \delta\left(x\right)\right) \left(\tan^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)} + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π,)\left[\pi, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,π]\left(-\infty, \pi\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxtan(x)=,\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
limxtan(x)=,\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(tan(x)x)=limx(tan(x)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(tan(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)
limx(tan(x)x)=limx(tan(x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(tan(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
tan(x)=tan(x)\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Да
tan(x)=tan(x)\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = tan(|x|) /media/krcore-image-pods/hash/xy/2/1c/1f2542dffe671b11c558d46c16c18.png