График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в tan(|x|). tan(∣0∣) Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная (tan2(∣x∣)+1)sign(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=0 Максимумов у функции нет Убывает на промежутках [0,∞) Возрастает на промежутках (−∞,0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 2(tan(∣x∣)sign2(x)+δ(x))(tan2(∣x∣)+1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=π
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [π,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,π]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞limtan(∣x∣)=⟨−∞,∞⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−∞,∞⟩ x→∞limtan(∣x∣)=⟨−∞,∞⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−∞,∞⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xtan(∣x∣))=x→−∞lim(xtan(∣x∣)) Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=xx→−∞lim(xtan(∣x∣)) x→∞lim(xtan(∣x∣))=x→∞lim(xtan(∣x∣)) Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=xx→∞lim(xtan(∣x∣))
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: tan(∣x∣)=tan(∣x∣) - Да tan(∣x∣)=−tan(∣x∣) - Нет значит, функция является чётной