График функции y = 3/2^x-4

Вы ввели

          x    
f(x) = 3/2  - 4

$$f{\left (x \right )} = \left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2 \log{\left (2 \right )}}{- \log{\left (3 \right )} + \log{\left (2 \right )}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.4190225827$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3/2)^x - 4.
$$-4 + \left(\frac{3}{2}\right)^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (3 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \left(- \log{\left (3 \right )} + \log{\left (2 \right )}\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3/2)^x - 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4 = -4 + \left(\frac{3}{2}\right)^{- x}$$
- Нет
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 4 = 4 - \left(\frac{3}{2}\right)^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной