График функции y = y^y

Вы ввели

        y
f(y) = y 

$$f{\left (y \right )} = y^{y}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$y^{y} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось Y

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в y^y.
$$0^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$
Первая производная
$$y^{y} \left(\log{\left (y \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:

         -1 
  -1   -e   
(e , e    )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{1} = e^{-1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[exp(-1), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, exp(-1)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$
Вторая производная
$$y^{y} \left(\left(\log{\left (y \right )} + 1\right)^{2} + \frac{1}{y}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} y^{y} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty} y^{y} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции y^y, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y^{y}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y^{y}}{y}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$y^{y} = \left(- y\right)^{- y}$$
- Нет
$$y^{y} = - \left(- y\right)^{- y}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной