График функции y = x/(x^3+1)

Вы ввели

         x   
f(x) = ------
        3    
       x  + 1

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{x^{3} + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(x^3 + 1).
$$\frac{0}{0^{3} + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

  2/3   2/3 
 2     2    
(----, ----)
  2     3   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 2**(2/3)/2]

Возрастает на промежутках

[2**(2/3)/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{6 x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{6 x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 2\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{6 x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 2\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2**(1/3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2**(1/3)]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{3} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{3} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x^3 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{3} + 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} + 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{3} + 1} = - \frac{x}{- x^{3} + 1}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{3} + 1} = - \frac{-1 x}{- x^{3} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной