График функции y = (x-2)/(log(x-3))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         x - 2   
f(x) = ----------
       log(x - 3)
f(x)=x2log(x3)f{\left (x \right )} = \frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}}
График функции
5.07.510.012.515.017.520.022.525.027.530.032.5-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=4x_{1} = 4
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2log(x3)=0\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = 2
Численное решение
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)/log(x - 3).
2log(3)- \frac{2}{\log{\left (-3 \right )}}
Результат:
f(0)=2log(3)+iπf{\left (0 \right )} = - \frac{2}{\log{\left (3 \right )} + i \pi}
Точка:
(0, -2/(pi*i + log(3)))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1log(x3)x2(x3)log2(x3)=0\frac{1}{\log{\left (x - 3 \right )}} - \frac{x - 2}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6.59112147667x_{1} = 6.59112147667
x2=4x_{2} = 4
Зн. экстремумы в точках:
(6.59112147667, 3.59112147666862)

(4, 8.46151640051518e+124)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=6.59112147667x_{2} = 6.59112147667
Максимумы функции в точках:
x2=4x_{2} = 4
Убывает на промежутках
(-oo, 4] U [6.59112147667, oo)

Возрастает на промежутках
[4, 6.59112147667]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x3)log2(x3)(2+x2x3+2x4(x3)log(x3))=0\frac{1}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} \left(-2 + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{2 x - 4}{\left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3.09077627823x_{1} = 3.09077627823
x2=14.0160938467x_{2} = 14.0160938467
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=4x_{1} = 4

limx4(1(x3)log2(x3)(2+x2x3+2x4(x3)log(x3)))=3.0291069399869310374\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} \left(-2 + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{2 x - 4}{\left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )}}\right)\right) = 3.02910693998693 \cdot 10^{374}
limx4+(1(x3)log2(x3)(2+x2x3+2x4(x3)log(x3)))=3.0291069399869310374\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} \left(-2 + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{2 x - 4}{\left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )}}\right)\right) = 3.02910693998693 \cdot 10^{374}
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3.09077627823]

Выпуклая на промежутках
[14.0160938467, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=4x_{1} = 4
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2log(x3))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2log(x3))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)/log(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2xlog(x3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \log{\left (x - 3 \right )}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x2xlog(x3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \log{\left (x - 3 \right )}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2log(x3)=x2log(x3)\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}} = \frac{- x - 2}{\log{\left (- x - 3 \right )}}
- Нет
x2log(x3)=x2log(x3)\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}} = - \frac{- x - 2}{\log{\left (- x - 3 \right )}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной