График функции y = x-cbrt(x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                2
           3 ___ 
f(x) = x - \/ x  
f(x)=x23+xf{\left (x \right )} = - x^{\frac{2}{3}} + x
График функции
1.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0-510
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x23+x=0- x^{\frac{2}{3}} + x = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - (x^(1/3))^2.
0- 0
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
123x3=01 - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=827x_{1} = \frac{8}{27}
Зн. экстремумы в точках:
(8/27, -4/27)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=827x_{1} = \frac{8}{27}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[8/27, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 8/27]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
29x43=0\frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x23+x)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{\frac{2}{3}} + x\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x23+x)=\lim_{x \to \infty}\left(- x^{\frac{2}{3}} + x\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - (x^(1/3))^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x23+x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{\frac{2}{3}} + x\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(1x(x23+x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{\frac{2}{3}} + x\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x23+x=x(x)23- x^{\frac{2}{3}} + x = - x - \left(- x\right)^{\frac{2}{3}}
- Нет
x23+x=1x(x)23- x^{\frac{2}{3}} + x = - -1 x - - \left(- x\right)^{\frac{2}{3}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной