Точки, в которых функция точно неопределена: x1=0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x31(x−1)=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=1 Численное решение x1=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x - 1)/x^3. −∞~ Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x31−x41(3x−3)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=23 Зн. экстремумы в точках:
(3/2, 4/27)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x1=23 Убывает на промежутках
(-oo, 3/2]
Возрастает на промежутках
[3/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x41(−6+x1(12x−12))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=2 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=0
x→0−lim(x41(−6+x1(12x−12)))=∞ x→0+lim(x41(−6+x1(12x−12)))=−∞ - пределы не равны, зн. x1=0 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 2]
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x31(x−1))=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim(x31(x−1))=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)/x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x41(x−1))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x41(x−1))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x31(x−1)=−x31(−x−1) - Нет x31(x−1)=−x31(x+1) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной