График функции y = x+log(x^2-1)

Вы ввели

              / 2    \
f(x) = x + log\x  - 1/

$$f{\left (x \right )} = x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1.14775763214$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + log(x^2 - 1).
$$\log{\left (-1 + 0^{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = i \pi$$
Точка:

(0, pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 1} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:

                                    /                2\ 
        ___         ___             |    /       ___\ | 
(-1 + \/ 2, -1 + \/ 2  + pi*I + log\1 - \-1 + \/ 2 / /)

                             /                 2\ 
        ___         ___      |     /       ___\ | 
(-1 - \/ 2, -1 - \/ 2  + log\-1 + \-1 - \/ 2 / /)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(2) - 1]

Возрастает на промежутках

[-sqrt(2) - 1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + log(x^2 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )} = - x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )}$$
- Нет
$$x + \log{\left (x^{2} - 1 \right )} = - -1 x - \log{\left (x^{2} - 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной