График функции y = ((x+1)/x)^3

Вы ввели

              3
       /x + 1\ 
f(x) = |-----| 
       \  x  / 

$$f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x + 1)/x)^3.
$$\left(\frac{1}{0}\right)^{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{3}}{x + 1} \left(\frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(3 x + 3\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x + 1)/x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{3}}}{x} \left(x + 1\right)^{3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{3}}}{x} \left(x + 1\right)^{3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = - \frac{1}{x^{3}} \left(- x + 1\right)^{3}$$
- Нет
$$\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = - \frac{1}{x^{3}} \left(-1 \left(- x + 1\right)^{3}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной