График функции y = ((x+1)/x)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
              3
       /x + 1\ 
f(x) = |-----| 
       \  x  / 
f(x)=(1x(x+1))3f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3}
График функции
02468-10-8-6-4-210-25002500
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(1x(x+1))3=0\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
Численное решение
x1=1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x + 1)/x)^3.
(10)3\left(\frac{1}{0}\right)^{3}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1x2(x+1)3x+1(3x1x2(3x+3))=0\frac{\frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{3}}{x + 1} \left(\frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(3 x + 3\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(1x(x+1))3=1\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(1x(x+1))3=1\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x + 1)/x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x3x(x+1)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{3}}}{x} \left(x + 1\right)^{3}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x3x(x+1)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{3}}}{x} \left(x + 1\right)^{3}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(1x(x+1))3=1x3(x+1)3\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = - \frac{1}{x^{3}} \left(- x + 1\right)^{3}
- Нет
(1x(x+1))3=1x3(1(x+1)3)\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{3} = - \frac{1}{x^{3}} \left(-1 \left(- x + 1\right)^{3}\right)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной