График функции y = (x+1)^(3/2)

Вы ввели

              3/2
f(x) = (x + 1)   

$$f{\left (x \right )} = \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00000000707$$
$$x_{2} = -1.00000000161$$
$$x_{3} = -1.00000000058$$
$$x_{4} = -0.99999999137$$
$$x_{5} = -0.999999992735$$
$$x_{6} = -0.999999994783$$
$$x_{7} = -1.00000000843$$
$$x_{8} = -0.999999991882$$
$$x_{9} = -1.00000000093$$
$$x_{10} = -0.999999998366$$
$$x_{11} = -0.999999994612$$
$$x_{12} = -0.999999995465$$
$$x_{13} = -1.00000000007$$
$$x_{14} = -0.999999997171$$
$$x_{15} = -1.00000000536$$
$$x_{16} = -0.999999999903$$
$$x_{17} = -0.999999997854$$
$$x_{18} = -1.00000000331$$
$$x_{19} = -1.00000000195$$
$$x_{20} = -1.00000000297$$
$$x_{21} = -0.99999999666$$
$$x_{22} = -1.0000000069$$
$$x_{23} = -1.00000000383$$
$$x_{24} = -1.00000000604$$
$$x_{25} = -1.00000000553$$
$$x_{26} = -1.00000000519$$
$$x_{27} = -0.999999992223$$
$$x_{28} = -1.0000000011$$
$$x_{29} = -1.00000000434$$
$$x_{30} = -1.00000000809$$
$$x_{31} = -0.999999997683$$
$$x_{32} = -0.999999992906$$
$$x_{33} = -1.00000000792$$
$$x_{34} = -1.00000000673$$
$$x_{35} = -0.999999996489$$
$$x_{36} = -1.00000000639$$
$$x_{37} = -0.99999999939$$
$$x_{38} = -0.999999998707$$
$$x_{39} = -0.999999992564$$
$$x_{40} = -1.00000000212$$
$$x_{41} = -1.00000000741$$
$$x_{42} = -1.00000000621$$
$$x_{43} = -1.00000000348$$
$$x_{44} = -0.999999995977$$
$$x_{45} = -0.999999999048$$
$$x_{46} = -1.00000000024$$
$$x_{47} = -1.00000000417$$
$$x_{48} = -1.00000000178$$
$$x_{49} = -0.999999993588$$
$$x_{50} = -1.00000000485$$
$$x_{51} = -1.00000000775$$
$$x_{52} = -0.999999992053$$
$$x_{53} = -1.0000000028$$
$$x_{54} = -1.00000000041$$
$$x_{55} = -0.999999997342$$
$$x_{56} = -1.00000000587$$
$$x_{57} = -1.00000000724$$
$$x_{58} = -0.999999993247$$
$$x_{59} = -0.999999998537$$
$$x_{60} = -0.999999992394$$
$$x_{61} = -0.999999999731$$
$$x_{62} = -1.0000000057$$
$$x_{63} = -1.000000004$$
$$x_{64} = -1.00000000075$$
$$x_{65} = -0.999999998878$$
$$x_{66} = -1.00000000758$$
$$x_{67} = -1.00000000656$$
$$x_{68} = -0.999999994953$$
$$x_{69} = -0.99999999683$$
$$x_{70} = -0.999999995636$$
$$x_{71} = -1.00000000246$$
$$x_{72} = -1.00000000314$$
$$x_{73} = -0.999999994441$$
$$x_{74} = -0.999999994271$$
$$x_{75} = -0.999999993759$$
$$x_{76} = -0.999999999219$$
$$x_{77} = -1.00000000263$$
$$x_{78} = -0.999999998025$$
$$x_{79} = -0.999999995295$$
$$x_{80} = -1.00000000229$$
$$x_{81} = -0.999999991711$$
$$x_{82} = -0.999999995806$$
$$x_{83} = -0.999999991541$$
$$x_{84} = -1.00000000502$$
$$x_{85} = -0.999999996318$$
$$x_{86} = -1.00000000127$$
$$x_{87} = -0.999999997001$$
$$x_{88} = -0.999999998195$$
$$x_{89} = -0.999999993418$$
$$x_{90} = -0.999999996148$$
$$x_{91} = -0.999999997513$$
$$x_{92} = -0.999999995124$$
$$x_{93} = -0.9999999941$$
$$x_{94} = -1.00000000451$$
$$x_{95} = -0.99999999956$$
$$x_{96} = -1.00000000826$$
$$x_{97} = -1.00000000144$$
$$x_{98} = -0.999999993929$$
$$x_{99} = -0.999999993076$$
$$x_{100} = -1.00000000366$$
$$x_{101} = -1.00000000468$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)^(3/2).
$$1^{\frac{3}{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3}{2} \sqrt{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{3}{4 \sqrt{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^(3/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} = \left(- x + 1\right)^{\frac{3}{2}}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} = - \left(- x + 1\right)^{\frac{3}{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной