График функции y = x*(5-x)^2

Вы ввели

                2
f(x) = x*(5 - x) 

$$f{\left(x \right)} = x \left(5 - x\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \left(5 - x\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*(5 - x)^2.
$$0 \left(5 - 0\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x \left(2 x - 10\right) + \left(5 - x\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

      500 
(5/3, ---)
       27 

(5, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{5}{3}, 5\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x - 10\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(5 - x\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(5 - x\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(5 - x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(5 - x\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(5 - x\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \left(5 - x\right)^{2} = - x \left(x + 5\right)^{2}$$
- Нет
$$x \left(5 - x\right)^{2} = x \left(x + 5\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График