График функции y = x*sin(log(x))

Вы ввели

f(x) = x*sin(log(x))

$$f{\left (x \right )} = x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = e^{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 23.1406926327793$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(log(x)).
$$0 \sin{\left (\log{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{- \frac{\pi}{4}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3 \pi}{4}}$$
Зн. экстремумы в точках:

                -pi   
  -pi           ----  
  ----     ___   4    
   4    -\/ 2 *e      
(e   , -------------)
              2       

               3*pi 
  3*pi         ---- 
  ----    ___   4   
   4    \/ 2 *e     
(e   , -----------)
             2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = e^{- \frac{\pi}{4}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = e^{\frac{3 \pi}{4}}$$
Убывает на промежутках

[exp(-pi/4), exp(3*pi/4)]

Возрастает на промежутках

(-oo, exp(-pi/4)] U [exp(3*pi/4), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{- \frac{3 \pi}{4}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\pi}{4}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(-3*pi/4), exp(pi/4)]

Выпуклая на промежутках

(-oo, exp(-3*pi/4)] U [exp(pi/4), oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(log(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} = - x \sin{\left (\log{\left (- x \right )} \right )}$$
- Нет
$$x \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} = - -1 x \sin{\left (\log{\left (- x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной