График функции y = x*sin(x/2)

Вы ввели

            /x\
f(x) = x*sin|-|
            \2/

$$f{\left (x \right )} = x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 94.2477796077$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 62.8318530718$$
$$x_{5} = -12.5663706144$$
$$x_{6} = 100.530964915$$
$$x_{7} = 50.2654824574$$
$$x_{8} = -25.1327412287$$
$$x_{9} = -43.9822971503$$
$$x_{10} = 25.1327412287$$
$$x_{11} = -1.56538766788 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{12} = -81.6814089933$$
$$x_{13} = 87.9645943005$$
$$x_{14} = 69.115038379$$
$$x_{15} = -31.4159265359$$
$$x_{16} = -6.76389479015 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{17} = -100.530964915$$
$$x_{18} = 56.5486677646$$
$$x_{19} = -75.3982236862$$
$$x_{20} = -69.115038379$$
$$x_{21} = -6.28318530718$$
$$x_{22} = 6.28318530718$$
$$x_{23} = 75.3982236862$$
$$x_{24} = -87.9645943005$$
$$x_{25} = 18.8495559215$$
$$x_{26} = -50.2654824574$$
$$x_{27} = -56.5486677646$$
$$x_{28} = -62.8318530718$$
$$x_{29} = -106.814150222$$
$$x_{30} = 12.5663706144$$
$$x_{31} = 7.14638850212 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{32} = 1.3813918757 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{33} = -18.8495559215$$
$$x_{34} = -37.6991118431$$
$$x_{35} = 31.4159265359$$
$$x_{36} = 1.07187539294 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{37} = 37.6991118431$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = 43.9822971503$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(x/2).
$$0 \sin{\left (\frac{0}{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -97.4304214351$$
$$x_{2} = 4.05751567622$$
$$x_{3} = -22.171076813$$
$$x_{4} = 9.82636087887$$
$$x_{5} = 66.0340020667$$
$$x_{6} = 53.4818320296$$
$$x_{7} = -9.82636087887$$
$$x_{8} = -66.0340020667$$
$$x_{9} = 40.9383348055$$
$$x_{10} = 22.171076813$$
$$x_{11} = 91.1500635912$$
$$x_{12} = 116.27332649$$
$$x_{13} = -91.1500635912$$
$$x_{14} = 47.208569546$$
$$x_{15} = 72.3119328391$$
$$x_{16} = -84.8701237628$$
$$x_{17} = 59.7571730122$$
$$x_{18} = -72.3119328391$$
$$x_{19} = -40.9383348055$$
$$x_{20} = -4.05751567622$$
$$x_{21} = -28.4148734504$$
$$x_{22} = 84.8701237628$$
$$x_{23} = 15.9573314248$$
$$x_{24} = 486.95507557$$
$$x_{25} = -15.9573314248$$
$$x_{26} = 34.672755848$$
$$x_{27} = -34.672755848$$
$$x_{28} = 28.4148734504$$
$$x_{29} = -59.7571730122$$
$$x_{30} = -53.4818320296$$
$$x_{31} = -47.208569546$$
$$x_{32} = 78.5907019629$$
$$x_{33} = 97.4304214351$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = -78.5907019629$$
$$x_{36} = -103.711121458$$
Зн. экстремумы в точках:

(-97.4304214351, -97.4099004507359)

(4.05751567622, 3.63941148231931)

(-22.171076813, -22.08141603186)

(9.82636087887, -9.62893977942454)

(66.0340020667, 66.0037354616907)

(53.4818320296, 53.4444753293948)

(-9.82636087887, -9.62893977942454)

(-66.0340020667, 66.0037354616907)

(40.9383348055, 40.8895681165045)

(22.171076813, -22.08141603186)

(91.1500635912, 91.1281296720536)

(116.27332649, 116.256129456171)

(-91.1500635912, 91.1281296720536)

(47.208569546, -47.1662612992667)

(72.3119328391, -72.2842907444842)

(-84.8701237628, -84.8465681545182)

(59.7571730122, -59.7237323183736)

(-72.3119328391, -72.2842907444842)

(-40.9383348055, 40.8895681165045)

(-4.05751567622, 3.63941148231931)

(-28.4148734504, 28.3447482275486)

(84.8701237628, -84.8465681545182)

(15.9573314248, 15.8334547431756)

(486.95507557, -486.950968467246)

(-15.9573314248, 15.8334547431756)

(34.672755848, -34.615217215717)

(-34.672755848, -34.615217215717)

(28.4148734504, 28.3447482275486)

(-59.7571730122, -59.7237323183736)

(-53.4818320296, 53.4444753293948)

(-47.208569546, -47.1662612992667)

(78.5907019629, 78.5652660137835)

(97.4304214351, -97.4099004507359)

(0, 0)

(-78.5907019629, 78.5652660137835)

(-103.711121458, 103.691842500403)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{36} = -97.4304214351$$
$$x_{36} = -22.171076813$$
$$x_{36} = 9.82636087887$$
$$x_{36} = -9.82636087887$$
$$x_{36} = 22.171076813$$
$$x_{36} = 47.208569546$$
$$x_{36} = 72.3119328391$$
$$x_{36} = -84.8701237628$$
$$x_{36} = 59.7571730122$$
$$x_{36} = -72.3119328391$$
$$x_{36} = 84.8701237628$$
$$x_{36} = 486.95507557$$
$$x_{36} = 34.672755848$$
$$x_{36} = -34.672755848$$
$$x_{36} = -59.7571730122$$
$$x_{36} = -47.208569546$$
$$x_{36} = 97.4304214351$$
$$x_{36} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{36} = 4.05751567622$$
$$x_{36} = 66.0340020667$$
$$x_{36} = 53.4818320296$$
$$x_{36} = -66.0340020667$$
$$x_{36} = 40.9383348055$$
$$x_{36} = 91.1500635912$$
$$x_{36} = 116.27332649$$
$$x_{36} = -91.1500635912$$
$$x_{36} = -40.9383348055$$
$$x_{36} = -4.05751567622$$
$$x_{36} = -28.4148734504$$
$$x_{36} = 15.9573314248$$
$$x_{36} = -15.9573314248$$
$$x_{36} = 28.4148734504$$
$$x_{36} = -53.4818320296$$
$$x_{36} = 78.5907019629$$
$$x_{36} = -78.5907019629$$
$$x_{36} = -103.711121458$$
Убывает на промежутках

[486.95507557, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -97.4304214351]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{x}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2.15374797262$$
$$x_{2} = -69.2304661105$$
$$x_{3} = 100.610437673$$
$$x_{4} = 69.2304661105$$
$$x_{5} = -31.6672228299$$
$$x_{6} = 88.0553837985$$
$$x_{7} = -7.28719433485$$
$$x_{8} = 13.1566674654$$
$$x_{9} = -13.1566674654$$
$$x_{10} = 94.3325352056$$
$$x_{11} = -56.6895537396$$
$$x_{12} = -25.4445975435$$
$$x_{13} = 81.7791555321$$
$$x_{14} = 2.15374797262$$
$$x_{15} = 50.4238061284$$
$$x_{16} = -37.9093635331$$
$$x_{17} = 37.9093635331$$
$$x_{18} = 31.6672228299$$
$$x_{19} = -44.1629515346$$
$$x_{20} = -19.2591206866$$
$$x_{21} = 7.28719433485$$
$$x_{22} = -94.3325352056$$
$$x_{23} = -50.4238061284$$
$$x_{24} = 44.1629515346$$
$$x_{25} = 25.4445975435$$
$$x_{26} = -88.0553837985$$
$$x_{27} = 75.5040792692$$
$$x_{28} = -75.5040792692$$
$$x_{29} = 19.2591206866$$
$$x_{30} = 56.6895537396$$
$$x_{31} = -81.7791555321$$
$$x_{32} = 62.9587498406$$
$$x_{33} = -100.610437673$$
$$x_{34} = -62.9587498406$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[94.3325352056, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -100.610437673]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
- Нет
$$x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = - x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной