График функции y = x^4/cos(x)

Вы ввели

          4  
         x   
f(x) = ------
       cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/cos(x).
$$\frac{0^{4}}{\cos{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x^{4} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{4 x^{3}}{\cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -100.491181429$$
$$x_{2} = -53.3322136976$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 34.4418995437$$
$$x_{5} = 21.8097603122$$
$$x_{6} = 87.9191292969$$
$$x_{7} = 36.1283155163$$
$$x_{8} = 80.1106126665$$
$$x_{9} = 15.4546999263$$
$$x_{10} = 23.5619449019$$
$$x_{11} = -94.2053446614$$
$$x_{12} = 51.8362787842$$
$$x_{13} = -83.2522053201$$
$$x_{14} = 69.0571800136$$
$$x_{15} = 14.1371669412$$
$$x_{16} = -51.8362787842$$
$$x_{17} = 24.9739230743$$
$$x_{18} = -7.85398163397$$
$$x_{19} = 89.5353906273$$
$$x_{20} = -23.5619449019$$
$$x_{21} = 48.6946861306$$
$$x_{22} = 29.8451302091$$
$$x_{23} = 42.4115008235$$
$$x_{24} = 18.6381491332$$
$$x_{25} = -59.6232728995$$
$$x_{26} = 45.5530934771$$
$$x_{27} = -12.2507735848$$
$$x_{28} = 59.6232728995$$
$$x_{29} = 92.6769832809$$
$$x_{30} = -28.133099238$$
$$x_{31} = -80.1106126665$$
$$x_{32} = -58.1194640914$$
$$x_{33} = 65.9128338511$$
$$x_{34} = 64.4026493986$$
$$x_{35} = 94.2053446614$$
$$x_{36} = -26.7035375555$$
$$x_{37} = 43.8914142052$$
$$x_{38} = 26.7035375555$$
$$x_{39} = -65.9128338511$$
$$x_{40} = -67.5442420522$$
$$x_{41} = 81.6324480305$$
$$x_{42} = -50.1859470065$$
$$x_{43} = -31.2887748652$$
$$x_{44} = -86.3937979737$$
$$x_{45} = -87.9191292969$$
$$x_{46} = -1.57079632679$$
$$x_{47} = 0$$
$$x_{48} = 67.5442420522$$
$$x_{49} = 86.3937979737$$
$$x_{50} = -75.3451844847$$
$$x_{51} = -17.2787595947$$
$$x_{52} = 2.04300861248$$
$$x_{53} = -34.4418995437$$
$$x_{54} = 56.4779617429$$
$$x_{55} = -43.8914142052$$
$$x_{56} = -5.66869058554$$
$$x_{57} = -45.5530934771$$
$$x_{58} = 4.71238898038$$
$$x_{59} = 7.85398163397$$
$$x_{60} = -39.2699081699$$
$$x_{61} = 100.491181429$$
$$x_{62} = -73.8274273594$$
$$x_{63} = -14.1371669412$$
$$x_{64} = 12.2507735848$$
$$x_{65} = -15.4546999263$$
$$x_{66} = -61.261056745$$
$$x_{67} = 78.4888977693$$
$$x_{68} = -72.2012869331$$
$$x_{69} = -9.00683532146$$
$$x_{70} = 20.4203522483$$
$$x_{71} = -29.8451302091$$
$$x_{72} = -81.6324480305$$
$$x_{73} = 5.66869058554$$
$$x_{74} = -89.5353906273$$
$$x_{75} = -42.4115008235$$
$$x_{76} = 58.1194640914$$
$$x_{77} = 95.8185759345$$
$$x_{78} = -36.1283155163$$
$$x_{79} = 73.8274273594$$
$$x_{80} = 37.5931082006$$
$$x_{81} = 28.133099238$$
$$x_{82} = -37.5931082006$$
$$x_{83} = 50.1859470065$$
$$x_{84} = 72.2012869331$$
$$x_{85} = -64.4026493986$$
$$x_{86} = -78.4888977693$$
$$x_{87} = -20.4203522483$$
$$x_{88} = -56.4779617429$$
$$x_{89} = -21.8097603122$$
$$x_{90} = -97.3483057927$$
$$x_{91} = 70.6858347058$$
$$x_{92} = -2.04300861248$$
Зн. экстремумы в точках:

(-100.491181429, 102060004.573305)

(-53.3322136976, -8112907.49720793)

(-95.8185759345, -7.45316596570691e+18)

(34.4418995437, -1416634.05090345)

(21.8097603122, -230031.658013413)

(87.9191292969, 59811201.4320214)

(36.1283155163, 9.80446235650969e+16)

(80.1106126665, -1.03682303142717e+18)

(15.4546999263, -58928.0585303388)

(23.5619449019, -1.31428784244511e+16)

(-94.2053446614, 78830323.9182258)

(51.8362787842, 2.28545274902443e+17)

(-83.2522053201, 1.62743884170623e+18)

(69.0571800136, 22780470.2525639)

(14.1371669412, -869653819595502)

(-51.8362787842, 2.28545274902443e+17)

(24.9739230743, 393955.719056719)

(-7.85398163397, 848782355483558)

(89.5353906273, 7.05923807320014e+18)

(-23.5619449019, -1.31428784244511e+16)

(48.6946861306, -1.34515669588606e+17)

(29.8451302091, -2.6124935863275e+17)

(42.4115008235, 8.5615773144056e+16)

(18.6381491332, 123421.044632545)

(-59.6232728995, -12665968.0660642)

(45.5530934771, -8.97131151129936e+16)

(-12.2507735848, 23694.6942319915)

(59.6232728995, -12665968.0660642)

(92.6769832809, 6.68789371045567e+19)

(-28.133099238, -632726.865163283)

(-80.1106126665, -1.03682303142717e+18)

(-58.1194640914, 1.02081834986559e+18)

(65.9128338511, -18909418.8004256)

(64.4026493986, -1.86115236099734e+18)

(94.2053446614, 78830323.9182258)

(-26.7035375555, 3.83939855291694e+16)

(43.8914142052, 3726613.43036322)

(26.7035375555, 3.83939855291694e+16)

(-65.9128338511, -18909418.8004256)

(-67.5442420522, 1.07010926872457e+18)

(81.6324480305, 44460263.2958058)

(-50.1859470065, 6363610.57013508)

(-31.2887748652, 966216.551428923)

(-86.3937979737, -2.88492626117832e+18)

(-87.9191292969, 59811201.4320214)

(-1.57079632679, 1243328440151.45)

(0, 0)

(67.5442420522, 1.07010926872457e+18)

(86.3937979737, -2.88492626117832e+18)

(-75.3451844847, 32272540.7816469)

(-17.2787595947, -2.03207396194765e+15)

(2.04300861248, -38.3005802936911)

(-34.4418995437, -1416634.05090345)

(56.4779617429, 10200056.0564352)

(-43.8914142052, 3726613.43036322)

(-5.66869058554, 1263.78871572918)

(-45.5530934771, -8.97131151129936e+16)

(4.71238898038, -105150992464470)

(7.85398163397, 848782355483558)

(-39.2699081699, -8.62164113358716e+16)

(100.491181429, 102060004.573305)

(-73.8274273594, 7.4523144236069e+17)

(-14.1371669412, -869653819595502)

(12.2507735848, 23694.6942319915)

(-15.4546999263, -58928.0585303388)

(-61.261056745, -1.45124675089291e+19)

(78.4888977693, -38001099.4950997)

(-72.2012869331, -27217310.609917)

(-9.00683532146, -7200.7526963873)

(20.4203522483, 5.16620907885331e+15)

(-29.8451302091, -2.6124935863275e+17)

(-81.6324480305, 44460263.2958058)

(5.66869058554, 1263.78871572918)

(-89.5353906273, 7.05923807320014e+18)

(-42.4115008235, 8.5615773144056e+16)

(58.1194640914, 1.02081834986559e+18)

(95.8185759345, -7.45316596570691e+18)

(-36.1283155163, 9.80446235650969e+16)

(73.8274273594, 7.4523144236069e+17)

(37.5931082006, 2008526.45470275)

(28.133099238, -632726.865163283)

(-37.5931082006, 2008526.45470275)

(50.1859470065, 6363610.57013508)

(72.2012869331, -27217310.609917)

(-64.4026493986, -1.86115236099734e+18)

(-78.4888977693, -38001099.4950997)

(-20.4203522483, 5.16620907885331e+15)

(-56.4779617429, 10200056.0564352)

(-21.8097603122, -230031.658013413)

(-97.3483057927, -89883484.9746102)

(70.6858347058, -8.4178513488778e+17)

(-2.04300861248, -38.3005802936911)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{92} = -100.491181429$$
$$x_{92} = -95.8185759345$$
$$x_{92} = 87.9191292969$$
$$x_{92} = 80.1106126665$$
$$x_{92} = 23.5619449019$$
$$x_{92} = -94.2053446614$$
$$x_{92} = 69.0571800136$$
$$x_{92} = 14.1371669412$$
$$x_{92} = 24.9739230743$$
$$x_{92} = -23.5619449019$$
$$x_{92} = 48.6946861306$$
$$x_{92} = 29.8451302091$$
$$x_{92} = 18.6381491332$$
$$x_{92} = 45.5530934771$$
$$x_{92} = -12.2507735848$$
$$x_{92} = -80.1106126665$$
$$x_{92} = 64.4026493986$$
$$x_{92} = 94.2053446614$$
$$x_{92} = 43.8914142052$$
$$x_{92} = 81.6324480305$$
$$x_{92} = -50.1859470065$$
$$x_{92} = -31.2887748652$$
$$x_{92} = -86.3937979737$$
$$x_{92} = -87.9191292969$$
$$x_{92} = 0$$
$$x_{92} = 86.3937979737$$
$$x_{92} = -75.3451844847$$
$$x_{92} = -17.2787595947$$
$$x_{92} = 56.4779617429$$
$$x_{92} = -43.8914142052$$
$$x_{92} = -5.66869058554$$
$$x_{92} = -45.5530934771$$
$$x_{92} = 4.71238898038$$
$$x_{92} = -39.2699081699$$
$$x_{92} = 100.491181429$$
$$x_{92} = -14.1371669412$$
$$x_{92} = 12.2507735848$$
$$x_{92} = -61.261056745$$
$$x_{92} = -29.8451302091$$
$$x_{92} = -81.6324480305$$
$$x_{92} = 5.66869058554$$
$$x_{92} = 95.8185759345$$
$$x_{92} = 37.5931082006$$
$$x_{92} = -37.5931082006$$
$$x_{92} = 50.1859470065$$
$$x_{92} = -64.4026493986$$
$$x_{92} = -56.4779617429$$
$$x_{92} = 70.6858347058$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{92} = -53.3322136976$$
$$x_{92} = 34.4418995437$$
$$x_{92} = 21.8097603122$$
$$x_{92} = 36.1283155163$$
$$x_{92} = 15.4546999263$$
$$x_{92} = 51.8362787842$$
$$x_{92} = -83.2522053201$$
$$x_{92} = -51.8362787842$$
$$x_{92} = -7.85398163397$$
$$x_{92} = 89.5353906273$$
$$x_{92} = 42.4115008235$$
$$x_{92} = -59.6232728995$$
$$x_{92} = 59.6232728995$$
$$x_{92} = 92.6769832809$$
$$x_{92} = -28.133099238$$
$$x_{92} = -58.1194640914$$
$$x_{92} = 65.9128338511$$
$$x_{92} = -26.7035375555$$
$$x_{92} = 26.7035375555$$
$$x_{92} = -65.9128338511$$
$$x_{92} = -67.5442420522$$
$$x_{92} = -1.57079632679$$
$$x_{92} = 67.5442420522$$
$$x_{92} = 2.04300861248$$
$$x_{92} = -34.4418995437$$
$$x_{92} = 7.85398163397$$
$$x_{92} = -73.8274273594$$
$$x_{92} = -15.4546999263$$
$$x_{92} = 78.4888977693$$
$$x_{92} = -72.2012869331$$
$$x_{92} = -9.00683532146$$
$$x_{92} = 20.4203522483$$
$$x_{92} = -89.5353906273$$
$$x_{92} = -42.4115008235$$
$$x_{92} = 58.1194640914$$
$$x_{92} = -36.1283155163$$
$$x_{92} = 73.8274273594$$
$$x_{92} = 28.133099238$$
$$x_{92} = 72.2012869331$$
$$x_{92} = -78.4888977693$$
$$x_{92} = -20.4203522483$$
$$x_{92} = -21.8097603122$$
$$x_{92} = -97.3483057927$$
$$x_{92} = -2.04300861248$$
Убывает на промежутках

[100.491181429, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -100.491181429]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x^{2}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{8 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 12\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = -39.2699081699$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 83.2522053201$$
$$x_{8} = -70.6858347058$$
$$x_{9} = -89.5353906273$$
$$x_{10} = 92.6769832809$$
$$x_{11} = 17.2787595947$$
$$x_{12} = -48.6946861306$$
$$x_{13} = -80.1106126665$$
$$x_{14} = -42.4115008235$$
$$x_{15} = -58.1194640914$$
$$x_{16} = 1.57079632679$$
$$x_{17} = -95.8185759345$$
$$x_{18} = -36.1283155163$$
$$x_{19} = 95.8185759345$$
$$x_{20} = 51.8362787842$$
$$x_{21} = -64.4026493986$$
$$x_{22} = 36.1283155163$$
$$x_{23} = 73.8274273594$$
$$x_{24} = -92.6769832809$$
$$x_{25} = -14.1371669412$$
$$x_{26} = 80.1106126665$$
$$x_{27} = 4.71238898038$$
$$x_{28} = 10.9955742876$$
$$x_{29} = 7.85398163397$$
$$x_{30} = 23.5619449019$$
$$x_{31} = 102.101761242$$
$$x_{32} = 64.4026493986$$
$$x_{33} = -73.8274273594$$
$$x_{34} = 14.1371669412$$
$$x_{35} = 48.6946861306$$
$$x_{36} = 26.7035375555$$
$$x_{37} = -83.2522053201$$
$$x_{38} = 29.8451302091$$
$$x_{39} = -45.5530934771$$
$$x_{40} = -51.8362787842$$
$$x_{41} = -67.5442420522$$
$$x_{42} = -61.261056745$$
$$x_{43} = -86.3937979737$$
$$x_{44} = -20.4203522483$$
$$x_{45} = -7.85398163397$$
$$x_{46} = -4.71238898038$$
$$x_{47} = 20.4203522483$$
$$x_{48} = 89.5353906273$$
$$x_{49} = -10.9955742876$$
$$x_{50} = -1.57079632679$$
$$x_{51} = -23.5619449019$$
$$x_{52} = 70.6858347058$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = 42.4115008235$$
$$x_{55} = 67.5442420522$$
$$x_{56} = 58.1194640914$$
$$x_{57} = -29.8451302091$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{8 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 12\right)\right) = 5.30355327314495 \cdot 10^{49}$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{8 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 12\right)\right) = 5.30355327314495 \cdot 10^{49}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{8 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 12\right)\right) = -1.59106598194349 \cdot 10^{50}$$
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{8 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 12\right)\right) = -1.59106598194349 \cdot 10^{50}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[92.6769832809, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -95.8185759345]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}} = \frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}}$$
- Да
$$\frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}} = - \frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной