График функции y = x^4-4*x^3-48*x^2+6*x-9

Вы ввели

        4      3       2          
f(x) = x  - 4*x  - 48*x  + 6*x - 9

$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -5.31087178911242$$
$$x_{2} = 9.17306553697308$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 - 48*x^2 + 6*x - 1*9.
$$\left(-1\right) 9 + 0^{4} - 4 \cdot 0^{3} - 48 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -9$$
Точка:

(0, -9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 x^{3} - 12 x^{2} - 96 x + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{49}{4} + \frac{\sqrt{9263} i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{49}{4} + \frac{\sqrt{9263} i}{4}}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                                                                                                   4                                                           2                                                          3                                                     
          _________________                                   /         _________________                         \       /         _________________                         \      /         _________________                         \           _________________                          
         /          ______                                    |        /          ______                          |       |        /          ______                          |      |        /          ______                          |          /          ______                           
        /  49   I*\/ 9263               9                     |       /  49   I*\/ 9263               9           |       |       /  49   I*\/ 9263               9           |      |       /  49   I*\/ 9263               9           |         /  49   I*\/ 9263               54           
(1 + 3 /   -- + ----------  + ----------------------, 6 - 9 + |1 + 3 /   -- + ----------  + ----------------------|  - 48*|1 + 3 /   -- + ----------  + ----------------------|  - 4*|1 + 3 /   -- + ----------  + ----------------------|  + 6*3 /   -- + ----------  + ----------------------)
     \/    4        4              _________________          |    \/    4        4              _________________|       |    \/    4        4              _________________|      |    \/    4        4              _________________|      \/    4        4              _________________ 
                                  /          ______           |                                 /          ______ |       |                                 /          ______ |      |                                 /          ______ |                                   /          ______  
                                 /  49   I*\/ 9263            |                                /  49   I*\/ 9263  |       |                                /  49   I*\/ 9263  |      |                                /  49   I*\/ 9263  |                                  /  49   I*\/ 9263   
                              3 /   -- + ----------           |                             3 /   -- + ---------- |       |                             3 /   -- + ---------- |      |                             3 /   -- + ---------- |                               3 /   -- + ----------  
                              \/    4        4                \                             \/    4        4      /       \                             \/    4        4      /      \                             \/    4        4      /                               \/    4        4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1 + 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9263}}{49} \right)}}{3} \right)}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1 + 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9263}}{49} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1 + 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9263}}{49} \right)}}{3} \right)}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$12 \left(x^{2} - 2 x - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-2, 4\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 - 48*x^2 + 6*x - 1*9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9 = x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 6 x - 9$$
- Нет
$$x^{4} - 4 x^{3} - 48 x^{2} + 6 x - 9 = - x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 6 x + 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График