График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x4−4x3−48x2+6x−9=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Численное решение x1=−5.31087178911242 x2=9.17306553697308
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 - 48*x^2 + 6*x - 1*9. (−1)9+04−4⋅03−48⋅02+6⋅0 Результат: f(0)=−9 Точка:
(0, -9)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 4x3−12x2−96x+6=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=1+3449+49263i9+3449+49263i Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=1+6cos3atan(499263) Максимумов у функции нет Убывает на промежутках 1+6cos3atan(499263),∞ Возрастает на промежутках −∞,1+6cos3atan(499263)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 12(x2−2x−8)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 x2=4
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−2]∪[4,∞) Выпуклая на промежутках [−2,4]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x4−4x3−48x2+6x−9)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x4−4x3−48x2+6x−9)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 - 48*x^2 + 6*x - 1*9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx4−4x3−48x2+6x−9)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx4−4x3−48x2+6x−9)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x4−4x3−48x2+6x−9=x4+4x3−48x2−6x−9 - Нет x4−4x3−48x2+6x−9=−x4−4x3+48x2+6x+9 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной