График функции y = x^9*log(x)

Вы ввели

        9       
f(x) = x *log(x)

$$f{\left(x \right)} = x^{9} \log{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{9} \log{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^9*log(x).
$$0^{9} \log{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$9 x^{8} \log{\left(x \right)} + x^{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Зн. экстремумы в точках:

          -1  
  -1/9  -e    
(e   , -----)
          9   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{- \frac{1}{9}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{- \frac{1}{9}}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{9} \log{\left(x \right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{9} \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^9*log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{8} \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{8} \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{9} \log{\left(x \right)} = - x^{9} \log{\left(- x \right)}$$
- Нет
$$x^{9} \log{\left(x \right)} = x^{9} \log{\left(- x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График