График функции y = x^2/1-x

Вы ввели

        2    
       x     
f(x) = -- - x
       1     

2 x f(x) = -- - x 1

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:

 2        
x         
-- - x = 0
1         

Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/1 - x.

 2    
0     
-- - 0
1     

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1/2, -1/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[1/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 1/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

      / 2    \     
      |x     |     
 lim  |-- - x| = oo
x->-oo\1     /     

Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует

     / 2    \     
     |x     |     
 lim |-- - x| = oo
x->oo\1     /     

Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/1 - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

       2          
      x           
      -- - x      
      1           
 lim  ------ = -oo
x->-oo  x         

Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует

      2         
     x          
     -- - x     
     1          
 lim ------ = oo
x->oo  x        

Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:

 2            2
x            x 
-- - x = x + --
1            1 

- Нет

 2             2
x             x 
-- - x = -x - --
1             1 

- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной