График функции y = x^2-4/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2   4
f(x) = x  - -
            x
f(x)=x24xf{\left(x \right)} = x^{2} - \frac{4}{x}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200200
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x24x=0x^{2} - \frac{4}{x} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=223x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}
Численное решение
x1=1.5874010519682x_{1} = 1.5874010519682
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 4/x.
02400^{2} - \frac{4}{0}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2x+4x2=02 x + \frac{4}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=23x_{1} = - \sqrt[3]{2}
Зн. экстремумы в точках:
  3 ___     2/3 
(-\/ 2, 3*2   )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=23x_{1} = - \sqrt[3]{2}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[23,)\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,23]\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(14x3)=02 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=223x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

limx0(2(14x3))=\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
limx0+(2(14x3))=\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
x1=0x_{1} = 0
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[223,)\left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,223]\left(-\infty, 2^{\frac{2}{3}}\right]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x24x)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{4}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x24x)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{4}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 4/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x24xx)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{4}{x}}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x24xx)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{4}{x}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x24x=x2+4xx^{2} - \frac{4}{x} = x^{2} + \frac{4}{x}
- Нет
x24x=x24xx^{2} - \frac{4}{x} = - x^{2} - \frac{4}{x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^2-4/x /media/krcore-image-pods/hash/xy/9/b3/5ff1b2dbf0bc5f18046c28025ac8b.png