График функции y = x^2+11*x-4*(|x+6|)+30

Вы ввели

        2                        
f(x) = x  + 11*x - 4*|x + 6| + 30

$$f{\left(x \right)} = x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -6$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 + 11*x - 4*|x + 6| + 30.
$$- 4 \left|{0 + 6}\right| + 0^{2} + 11 \cdot 0 + 30$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 6$$
Точка:

(0, 6)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x - 4 \operatorname{sign}{\left(x + 6 \right)} + 11 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{7}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-7/2, -25/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{7}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{7}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{7}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(1 - 4 \delta\left(x + 6\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 + 11*x - 4*|x + 6| + 30, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30 = x^{2} - 11 x - 4 \left|{x - 6}\right| + 30$$
- Нет
$$x^{2} + 11 x - 4 \left|{x + 6}\right| + 30 = - x^{2} + 11 x + 4 \left|{x - 6}\right| - 30$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График