График функции y = x^(1/factorial(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        1 
        --
        x!
f(x) = x  
f(x)=x1x!f{\left (x \right )} = x^{\frac{1}{x!}}
График функции
0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x1x!=0x^{\frac{1}{x!}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/factorial(x)).
010!0^{\frac{1}{0!}}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x1x!(1x!2log(x)Γ(x+1)polygamma(0,x+1)+1xx!)=0x^{\frac{1}{x!}} \left(- \frac{1}{x!^{2}} \log{\left (x \right )} \Gamma{\left(x + 1 \right)} \operatorname{polygamma}{\left (0,x + 1 \right )} + \frac{1}{x x!}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1.86025718142x_{1} = 1.86025718142
Зн. экстремумы в точках:
(1.86025718142, 1.42146711910167)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=1.86025718142x_{1} = 1.86025718142
Убывает на промежутках
(-oo, 1.86025718142]

Возрастает на промежутках
[1.86025718142, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxx1x!=(1)1()!1()!\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x!}} = \left(-1\right)^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}} \infty^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=(1)1()!1()!y = \left(-1\right)^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}} \infty^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}}
limxx1x!=1\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x!}} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/factorial(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(x1x!x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x!}}}{x}\right)
limx(x1x!x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x!}}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x1x!=(x)1(x)!x^{\frac{1}{x!}} = \left(- x\right)^{\frac{1}{\left(- x\right)!}}
- Нет
x1x!=(x)1(x)!x^{\frac{1}{x!}} = - \left(- x\right)^{\frac{1}{\left(- x\right)!}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной