График функции y = (x^6)*(e^x)

Вы ввели

        6  x
f(x) = x *E 

$$f{\left (x \right )} = e^{x} x^{6}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} x^{6} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -78.9671108209$$
$$x_{2} = -82.8370640709$$
$$x_{3} = -122.083752662$$
$$x_{4} = -51.0212656989$$
$$x_{5} = -108.271675516$$
$$x_{6} = -71.286458544$$
$$x_{7} = -98.4459380392$$
$$x_{8} = -73.1978637909$$
$$x_{9} = -90.6199460985$$
$$x_{10} = -61.8538036963$$
$$x_{11} = -60.0006716762$$
$$x_{12} = -116.157746025$$
$$x_{13} = -110.241344844$$
$$x_{14} = -96.4861171978$$
$$x_{15} = -69.3820402989$$
$$x_{16} = -106.303377434$$
$$x_{17} = -65.5977440884$$
$$x_{18} = -80.9000115859$$
$$x_{19} = -75.1155185221$$
$$x_{20} = -77.0387854017$$
$$x_{21} = -84.7778953156$$
$$x_{22} = -67.4854672597$$
$$x_{23} = -88.6696127131$$
$$x_{24} = -118.132099184$$
$$x_{25} = -92.5729433218$$
$$x_{26} = -54.5425970346$$
$$x_{27} = -52.7673199737$$
$$x_{28} = -63.7200546035$$
$$x_{29} = -56.3423143698$$
$$x_{30} = -58.1626856199$$
$$x_{31} = -100.407706249$$
$$x_{32} = -114.184456628$$
$$x_{33} = -112.212298468$$
$$x_{34} = -86.7221756753$$
$$x_{35} = -104.336545566$$
$$x_{36} = -94.5283960776$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = -120.107453885$$
$$x_{39} = -102.371283846$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^6*E^x.
$$0^{6} e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

            -6 
(-6, 46656*e  )

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Убывает на промежутках

(-oo, -6] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-6, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$x^{4} \left(x^{2} + 12 x + 30\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -6 - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = -6 + \sqrt{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -6 - sqrt(6)] U [-6 + sqrt(6), oo)

Выпуклая на промежутках

[-6 - sqrt(6), -6 + sqrt(6)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x^{6}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x^{6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^6*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} x^{6} = x^{6} e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} x^{6} = - x^{6} e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной