График функции y = x^3/(x-4)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3 
         x  
f(x) = -----
       x - 4
f(x)=x3x4f{\left (x \right )} = \frac{x^{3}}{x - 4}
График функции
-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.5-2525
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=4x_{1} = 4
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3x4=0\frac{x^{3}}{x - 4} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(x - 4).
034\frac{0^{3}}{-4}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x3(x4)2+3x2x4=0- \frac{x^{3}}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x - 4} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(6, 108)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=6x_{2} = 6
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[6, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 6]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2xx4(x2(x4)23xx4+3)=0\frac{2 x}{x - 4} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 4} + 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=4x_{1} = 4

limx4(2xx4(x2(x4)23xx4+3))=\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x}{x - 4} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 4} + 3\right)\right) = -\infty
limx4+(2xx4(x2(x4)23xx4+3))=\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x}{x - 4} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 4} + 3\right)\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x1=4x_{1} = 4
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=4x_{1} = 4
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3x4)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x - 4}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3x4)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x - 4}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2x4)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 4}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x2x4)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 4}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3x4=x3x4\frac{x^{3}}{x - 4} = - \frac{x^{3}}{- x - 4}
- Нет
x3x4=1x3x4\frac{x^{3}}{x - 4} = - \frac{-1 x^{3}}{- x - 4}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной