График функции y = x^3-6*x^2-15*x-8

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2           
f(x) = x  - 6*x  - 15*x - 8
f(x)=x36x215x8f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8
График функции
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x36x215x8=0x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=8x_{2} = 8
Численное решение
x1=1x_{1} = -1
x2=8x_{2} = 8
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 6*x^2 - 15*x - 1*8.
(1)8+03602150\left(-1\right) 8 + 0^{3} - 6 \cdot 0^{2} - 15 \cdot 0
Результат:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = -8
Точка:
(0, -8)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x212x15=03 x^{2} - 12 x - 15 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=5x_{2} = 5
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 8 - 8)

(5, -100 - 8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=5x_{1} = 5
Максимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = -1
Убывает на промежутках
(,1][5,)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[5, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[1,5]\left[-1, 5\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x2)=06 \left(x - 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2,)\left[2, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,2]\left(-\infty, 2\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x36x215x8)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x36x215x8)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 6*x^2 - 15*x - 1*8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x36x215x8x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x36x215x8x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x36x215x8=x36x2+15x8x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8 = - x^{3} - 6 x^{2} + 15 x - 8
- Нет
x36x215x8=x3+6x215x+8x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8 = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3-6*x^2-15*x-8 /media/krcore-image-pods/hash/xy/e/ca/9038b2474288af5007627f6ab187c.png