График функции y = x^3-x*(|x-5|)

Вы ввели

        3            
f(x) = x  - x*|x - 5|

$$f{\left (x \right )} = x^{3} - x \left|{x - 5}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - x \left|{x - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.79128784748$$
$$x_{3} = -2.79128784748$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - x*|x - 5|.
$$0^{3} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$3 x^{2} - x \operatorname{sign}{\left (x - 5 \right )} - \left|{x - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.66666666667$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, -3)

(-1.66666666667, 6.48148148148148)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1.66666666667$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1.66666666667] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-1.66666666667, 1]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - x \left|{x - 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - x \left|{x - 5}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - x*|x - 5|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - x \left|{x - 5}\right|\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - x \left|{x - 5}\right|\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - x \left|{x - 5}\right| = - x^{3} + x \left|{x + 5}\right|$$
- Нет
$$x^{3} - x \left|{x - 5}\right| = - -1 x^{3} - x \left|{x + 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной