График функции y = x^3+3*x^2-4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2    
f(x) = x  + 3*x  - 4
f(x)=x3+3x24f{\left(x \right)} = x^{3} + 3 x^{2} - 4
График функции
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+3x24=0x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = -2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 3*x^2 - 1*4.
(1)4+03+302\left(-1\right) 4 + 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}
Результат:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = -4
Точка:
(0, -4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x2+6x=03 x^{2} + 6 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 4 - 4)

(0, -1*4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = -2
Убывает на промежутках
(,2][0,)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[2,0]\left[-2, 0\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x+1)=06 \left(x + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1,)\left[-1, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,1]\left(-\infty, -1\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+3x24)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 3 x^{2} - 4\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+3x24)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 3 x^{2} - 4\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 3*x^2 - 1*4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x3+3x24x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x3+3x24x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+3x24=x3+3x24x^{3} + 3 x^{2} - 4 = - x^{3} + 3 x^{2} - 4
- Нет
x3+3x24=x33x2+4x^{3} + 3 x^{2} - 4 = x^{3} - 3 x^{2} + 4
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3+3*x^2-4 /media/krcore-image-pods/hash/xy/6/30/c5477762a3e4ac30388d8f338490d.png