График функции y = x^3*3^x

Вы ввели

        3  x
f(x) = x *3 

$$f{\left (x \right )} = 3^{x} x^{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3^{x} x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -46.6188668875$$
$$x_{2} = -93.6372841363$$
$$x_{3} = -73.8544531161$$
$$x_{4} = -64.0284078829$$
$$x_{5} = -113.507040378$$
$$x_{6} = -37.3800450523$$
$$x_{7} = -119.477551083$$
$$x_{8} = -60.1192917914$$
$$x_{9} = -75.8264183889$$
$$x_{10} = -62.0719437927$$
$$x_{11} = -42.8555959527$$
$$x_{12} = -79.7754580793$$
$$x_{13} = -97.6062724931$$
$$x_{14} = -41.0022715$$
$$x_{15} = -107.540293535$$
$$x_{16} = -50.4358646905$$
$$x_{17} = -65.9882395706$$
$$x_{18} = -67.951061178$$
$$x_{19} = -83.7303325801$$
$$x_{20} = -44.729114867$$
$$x_{21} = -91.6539834309$$
$$x_{22} = -105.552341722$$
$$x_{23} = -56.2276341364$$
$$x_{24} = 4.06478636196 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -87.6900922933$$
$$x_{26} = -69.9165496883$$
$$x_{27} = -89.6715623164$$
$$x_{28} = -35.6298905605$$
$$x_{29} = -39.174550132$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = -81.7522305983$$
$$x_{32} = -71.8844271631$$
$$x_{33} = -48.5218772309$$
$$x_{34} = -115.496825228$$
$$x_{35} = -77.8001401952$$
$$x_{36} = -101.578081155$$
$$x_{37} = -58.1709787572$$
$$x_{38} = -109.528747346$$
$$x_{39} = -52.3590483952$$
$$x_{40} = -54.2900164246$$
$$x_{41} = -111.517672392$$
$$x_{42} = -95.6213999348$$
$$x_{43} = -117.487002879$$
$$x_{44} = -85.7096528437$$
$$x_{45} = -103.56492541$$
$$x_{46} = -99.591848922$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*3^x.
$$0^{3} \cdot 3^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3^{x} x^{3} \log{\left (3 \right )} + 3 \cdot 3^{x} x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{\log{\left (3 \right )}}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

              -3 
  -3     -27*e   
(------, -------)
 log(3)     3    
         log (3) 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3}{\log{\left (3 \right )}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-3/log(3), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -3/log(3)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3^{x} x \left(x^{2} \log^{2}{\left (3 \right )} + 6 x \log{\left (3 \right )} + 6\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{-3 + \sqrt{3}}{\log{\left (3 \right )}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3} + 3}{\log{\left (3 \right )}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-(sqrt(3) + 3)/log(3), (-3 + sqrt(3))/log(3)] U [0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -(sqrt(3) + 3)/log(3)] U [(-3 + sqrt(3))/log(3), 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} x^{3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*3^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} x^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3^{x} x^{3} = - 3^{- x} x^{3}$$
- Нет
$$3^{x} x^{3} = - -1 \cdot 3^{- x} x^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной